Question

已知抛物线x=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线L交抛物线于A,B两点，抛

已知抛物线X的平方=4y的焦点为F.过焦点F且不平行于X轴的动直线L交抛物线于AB两点，抛物线在AB两点处的切线交于点M.求证：AMB三点的横坐标成等差数列。 朋友们！帮帮忙，非常急需！！！急需！拜托啦！快！！！

Answer 1

一.分析：

三个数字(横坐标)成等差数列，即M点在x轴的投影在AB点投影的中间。

抛物线y=0.25x^2的焦点F坐标为(0，1)

二.求出A,B横坐标(A<B)

令直线AB方程为y=kx+1，直线AB与X轴倾角为角1，
则：
k=tg角1； (1)
设角1大于90度（因抛物线对称，小于90度时结论相同。）
AB与抛物线相交，得y=0.25x^2=kx+1，
即：
x^2-4kx-4=0
(x-2k)^2=4(k^2+1)
讨论得A和B坐标：
A（x1，y1）:
x1=2k-2[(k^2+1)^(1/2)] (2)
y1=kx1+1 (3)
B（x2，y2）:
x2=2k+2[(k^2+1)^(1/2)] (4)
y2=kx2+1 (5)
由x1和x2知，只需证明x=2k是M的横坐标。

三.证明x=2k是M的横坐标

1、求直线AM、BM表达式

令直线AM方程：y=dx+c，d=tg角2，c=y1-dx1
令直线BM方程：y=ex+f，e=tg角3，f=y2-ex2
过A做法线，用抛物线光学性质可证角2和角1关系：
角2=（角1+90度）/2
同理，得角1和角3关系：
角3=（角1-90度）/2
即：
d=tg角2=tg[(角1+90度)/2] (6)
e=tg角3=tg[(角1-90度)/2] (7)

2、求证M横坐标
y=dx+c=ex+f
dx+c=ex+f
（d-e）x=y2-ex2-（y1-dx1） (8)
将(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)代入(8),化为x关于角1的方程L，
将x=2k=2tg角1代入方程L,方程平衡。
即x=2k是M横坐标，
即三个数字(横坐标)成等差数列。证毕。