Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是三角形ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E

（1）求证：四边形ADCE为矩形
（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADCF是一个正方形？并给出证明

Answer 1

（1）因AB=AC,AD⊥BC，所以∠BAD=∠CAD.
因AN是∠CAM的平分线,所以∠MAN=∠CAN,又因∠CAM是三角形ABC的外角，所以∠CAD+∠CAN=90°，四边形ADCF三个角均为90°，即为矩形。
（2）三角形ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是一个正方形。AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=90°，则∠DAC=45°，AD=CD。相邻两边相等的矩形为正方形。

Answer 2

（1）由NC平行于AD，可证NC垂直于BC，则证出∠DCN为直角。∠DCN=90°
我们由AB=AC，推出三角形ABC中为等腰直角三角形，AD垂直于BC，则AD平分BC，且平分∠BAC（可证）。
则有∠BAD=∠DAC=二分之一∠BAC，而NA是∠CAM的平分线，则有∠CAN=∠NAM=二分之一∠CAM。角∠CAM +∠BAC是平角，180°。
则有∠DAC+∠CAN=∠BAD+∠NAM=二分之一平角，90°即∠DAN=90°.
四边形ADCN中，∠DAN=∠ADC=∠DCN=90°，有三个角是直角则此四边形为矩形。
（2）2、四边形ADCE是矩形，当然也是平行四边形。
是否是要说明四边形ADCE是正方形呢？
如果是正方形，那么就要CD=AD，
于是，角B=角ACB=角BAD=角CAD
所以，角BAC=90度
即三角形ABC是直角三角形时，四边形ADCE是正方形。