Question

已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4.

已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4.
（1）在图中找到两对相似三角形，并选取一对加以说明。
（2）若AE=x，BD=y，试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围
（3) 试说明：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形
（4）已知：如图二，等边三角形ABC中，点D、E在AB上（不包括端点），且∠DCE=30°，请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时，直接写出线段AD、DE、EB的比是多少？

Answer 1

（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AC=BC，
∴∠A＝∠B＝45°.
以CE为一边作∠ECF＝∠ECB，在CF上
截取CF=CB，则CF=CB=AC. 图①
连接DF、EF，则△CFE≌△CBE. ………………………………………………1分
∴FE=BE，∠1＝∠B＝45°.
∵∠DCE＝∠ECF＋∠DCF＝45°，
∴∠DCA＋∠ECB＝45°.
∴∠DCF＝∠DCA.
∴△DCF≌△DCA. ……………………………………………………………2分
∴∠2＝∠A＝45°，DF＝AD.
∴∠DFE＝∠2＋∠1＝90°.
∴△DFE是直角三角形.
又AD=DF，EB=EF，
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形. ……………………………4分

（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能
构成一个等腰三角形.
如图②，与（1）类似，以CE为一边，作
∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得
△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA.
∴AD=DF，EF=BE. 图②
∴∠DFE＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＝120°. ……………………………………5分
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. ……………6分
且顶角∠DFE为120°.

（3）证明：如图①，
∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠CDB＝∠ACD＋∠A.
又∠DCE＝∠A＝45°，
∴∠ACE＝∠CDB.
又∠A＝∠B，
∴△ACE∽△BDC.
∴ .
∴ .
∵Rt△ACB中，由 ，得 .
∴ .…………………………………………8分

Answer 2

我是来求答案的~

Answer 3

不知道。

Answer 4

不知道

Answer 5

我也在找这道题呢