Question

对于0<x<2的一切x的值,不等式x^2+mx+m^2+6m<0恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

设f(x)=x^2+mx+m^2+6m 并整理之得到 f(x)=(x+ 0.5m)^2 +0.75m^2 +6m (函数中的小数其实应该用分数形式来表示，但是限于条件，打出来容易造成误解）
此时可以看出，函数f(x)的对称轴为 -0.5m
接下来讨论区间（0,2）与对称轴-0.5m的关系。分两个部分来讨论
区间（0,2）的中心在 x=1 处，因此
（1）如果函数对称轴在x=1的左侧，即 -0.5m<1时（也就是m>-2)，f(x)在（0,2）区间上的的最大值为 f(2) ,即将x=2带入函数，得到 4+2m+m^2+6m 算这个算式小于0的值，（结果带根号，我就不写了），此时得出了一个关于m的取值范围，还要与m>-2 做交，得出最后结果。
（2）如果函数对称轴在x=1的右侧，即 -0.5m>1时（也就是m<-2)，f(x)在（0,2）区间上的的最大值为 f(0) ,即将x=0带入函数, 得到m^2+6m 算这个算式小于0的值，即-6<m<0 ,与 m<-2做交，得出 -6<m<-2。
（3）m=1时的情况，可以归入上面任意一个区间，不影响结果，就是多个等号。
综合以上的思路和结果，就是最终结果了。写的有点儿简略，希望对你有所帮助。