Question

高中数学导数题

已知函数f（x）=lnx－ax－3（a≠0）
⑴讨论函数f（x）的单调性
⑵若对于任意a∈[1,2]，若函数g（x）=x²＋（x²／2）[m－2f’（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围
（f‘（x）是导函数）
答案是（﹣32／3，﹣19／2）
第二问怎么做

还有一题
设函数f（x）=ln（1+x）／x（x＞0）
⑴判断函数f（x）单调性
求导做不出

Answer 1

1. 已知函数f（x）=lnx－ax－3（a≠0）
⑴讨论函数f（x）的单调性
⑵若对于任意a∈[1,2]，若函数g（x）=x²＋（x²／2）[m－2f’（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围
解：(1). f′(x)=1/x-a=(1-ax)/x=-a(x-1/a)/x
当a<0时，-a>0，于是x<1/a或x>0时，f(x)单调增；1/a<x<0时，f(x)单调减；
当a>0时，-a<0，于是x<0或x>1/a时，f(x)单调减；0<x<1/a时，f(x)单调增。
(2) g(x)=x²+(x²/2)[m-(2/x)+2a]=[1+(m+2a)/2]x²-x
令g′(x)=(2+m+2a)x-1=0，得驻点x=1/(2+m+2a).
依题意，1≦a≦2，a<1/(2+m+2a)<3，下面解这个不等式：
取倒数得：1/3<2+m+2a<1/a，故-5/3-2a<m<(1/a)-2-2a，
用a=2代入，即得 -17/3<m<-11/2.
2.设函数f（x）=ln[(1+x)/x]（x＞0），判断函数f（x）单调性
解：f(x)=ln(1+x)-lnx，f′(x)=1/(1+x)-1/x=-1/[x(x+1)]<0对任何x>0都成立，故f(x)在其定义域内都
单调减。

Answer 2

第一题先。a∈[1,2]，可得f（x）在（0,1/a）上增函数（第一问的结论）。g(x)=x²＋（x²／2）[m－2f’（x）]=x²＋（x²／2）(m-2/x+2a)=(m+2a+2)/2x²-x，这样g‘（x）=（m+2a+2）x-1，由于g（x）在区间（a，3）上有最值，则必须满足g‘（x）=（m+2a+2）x-1=0在（a，3）上有解。解得x=1/（m+2a+2），由于x属于(a,3)，则a<1/(m+2a+2)<3，也即1/3<m+2a+2<1/a，这样-2a-1/a+1/3<m<1/a-2a-2,由于a∈[1,2]，则m要小于1/a-2a-2的最小值，此时a=2，m<-11/2。大于-2a-1/a+1/3的最大值，此时a=1。m>5/3。解错了 肯定。。。。
第二题。f‘（x）=[x/（1+x）-ln（1+x）]/x²。x²恒大于0，只需解得x/（1+x）-ln（1+x）即可，令g（x）=x/（1+x）-ln（1+x），g’（x）=-（1+x）^(-2)-1/(1+x）,g'(x)恒小于0，这样g（x）为减函数，由于g（0）=0，这样f‘（x）<0，f（x）是减函数。

Answer 3

第二问 答案错了 应该是（﹣1，﹣1／3]

g(x)=x²＋（x²／2）[m－2f’（x）]=x²＋（x²／2）(m-2/x+2a)=[(m+2a+2)/2]x²-x
g‘（x）=（m+2a+2）x-1
由于g（x）在区间（a，3）上有最值，
则g‘（x）=（m+2a+2）x-1=0在（a，3）上有解
x=1/（m+2a+2）则：
a＜1/（m+2a+2）＜3

如果答案正确的话
你把m=-2带进去检验
可以发现
不能满足题意的

所以答案错误

f（x）=ln（1+x）／x （x＞0）
令g（x）=ln（1+x） g`(x)=1/(1+x) 可见 g`（x）递减但始终大于零
说明 g（x）的增长是越来越慢
令h(x)=x h`(x)=1 可见h`（x）不变，
说明 h（x）一直保持这样的增长速度
得出：
f（x）=ln（1+x）／x 递减

Answer 4

第一题先。a∈[1,2]，可得f（x）在（0,1/a）上增函数（第一问的结论）。g(x)=x²＋（x²／2）[m－2f’（x）]=x²＋（x²／2）(m-2/x+2a)=(m+2a+2)/2x²-x，这样g‘（x）=（m+2a+2）x-1，由于g（x）在区间（a，3）上有最值，则必须满足g‘（x）=（m+2a+2）x-1=0在（a，3）上有解。解得x=1/（m+2a+2），由于x属于(a,3)，则a<1/(m+2a+2)<3，也即1/3<m+2a+2<1/a，这样-2a-1/a+1/3<m<1/a-2a-2,由于a∈[1,2]，则m要小于1/a-2a-2的最小值，此时a=2，m<-11/2。大于-2a-1/a+1/3的最大值，此时a=1。m>5/3。解错了 肯定。。。。
第二题。f‘（x）=[x/（1+x）-ln（1+x）]/x²。x²恒大于0，只需解得x/（1+x）-ln（1+x）即可，令g（x）=x/（1+x）-ln（1+x），g’（x）=-（1+x）^(-2)-1/(1+x）,g'(x)恒小于0，这样g（x）为减函数，由于g（0）=0，这样f‘（x）<0，f（x）是减函数。