Question

来高中数学竞赛高手！！！！ 求证 (a^2+b^2+c^2)^2>=3(a^3b+b^3c+c^3a)

要好一点的做法！！！暴力的不要···········
还有没有人有更好的解法啦？？

Answer 1

由基本不等式得（a^2+b^2+c^2)>=3*（abc)^(2/3)
则 (a^2+b^2+c^2)^2>=9*（abc)^(4/3)
即只需证 9*（abc)^(4/3)>=3(a^3b+b^3c+c^3a)
即 3*（abc)^(4/3)>=1(a^3b+b^3c+c^3a)
变式的 3>=(a^3b+b^3c+c^3a)/（abc)^(4/3)
只需证明上式成立即可
有基本不等式易得上式成立 所以原式成立

追问

晕·······
哥们你当我没学过数学竞赛么？
你那个所谓的上式明显不等号方向反了嘛！！！！！

Answer 2

(a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^3b+b^3c+c^3a) = 1/2 [(a^2-2ab+bc-c^2+ca)^2 + (b^2-2bc+ca-a^2+ab)^2 + (c^2-2ca+ab-b^2+bc)^2] >=0

（代数变形的部分就留给你自己了哈）

追问

额·····好厉害·····我展开了，是对的！
配方法我也想到了，但自己没配出来·····能说说你的思路么？怎么想到配成这个样子的？

追答

真不好意思，这不是我想出来的，我只会用“暴力”……这个不等式的难点在于它不仅在三个变量相等时取等号。我觉得另一个可以尝试的思路是，假设a>=b>=c，然后在两边的差中尽量凑出(a-b)(b-c)的倍式。在这一过程中会出现和这些平方类似的表达式。

Answer 3

不知道怎么证明，但是一看就是对的，因为这是公式...
我只能给你思路，这个是三个参数的均值不等式（均值不等式是两个参数），道理是一样的

追问

············不行，好像没你说的那么简单···········

要是就只用均值就可以那么简单的话，我就不拿出来问啦·····

来高手啊！！！！！！

Answer 4

这个打字好麻烦。1/16(4a2+4b2+4c2)2
a2+a2+a2+c2>=4根号c^3a 将其设为x
b2+b2+b2+a2>=4根号a^3b y
c2+c2+c2+a2>=4根号c^3a z
后面应该可以算了

追问

想法不错，但好像也不行·········
化简最后要证的是（x+y+z）^2>=3(x^2+y^2+z^2)
也反啦·····

Answer 5

解：令A=b+c-2a，B=c+a-2b，C=a+b-2c，
则A+B+C=0，
∴A3+B3+C3-3ABC
=（A+B+C）（A2+B2+C2-AC-BC-AB）
=0，
∴A3+B3+C3=3ABC，
即（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3=2（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）