Question

初中数学八年级下册，几何，正方形性质中的一题，解下

正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PE⊥DC于F，
（1）当点P于点O重合时（图1），猜测AP于EF的数量关系及位置关系，并证明你的结论。
（2）如图2，当点P在线段DB上（不与点D,,O,B重合）时，探究（1）中的结论是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由.
（3）当点P在DB的延长线上时，请将图3补充完整，并判断（1）中的结论是否成立?若成立，直接写出结论，若不成立，请写出相应的结论。
（因为图片位置有限，个别一样字母的角就不写出了，应该能看出，第一小题，如果麻烦可以不用写，就是第三小题要详细点）

Answer 1

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O.
∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点
∴点A,O,C在同一直线上 AC=BD AC⊥BD
∵OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD
∴OA=OB=OC=OD
∵OB=OC PE⊥BC
∴E是BC的中点
∵OC=OD PF⊥CD
∴F是CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF‖BD EF=1/2BC
∴OA⊥EF OA=EF
∴AP=EF AP⊥EF

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形（证△BMP≌△BEP）
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE，
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PBF；
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；

Answer 2

1.垂直。因为 EF平行与BD 而 AP垂直与BD 所以AP垂直与EF

2.成立。
取P为AO中点。同理证明

3.成立

Answer 3

（1）当点p与点O重合是，E,F分别为BC,CD的中点
四边形PECF为正方形
所以EF=CP且EF⊥PC
在ABCD中AP=PC
所以AP=EF且AP⊥EF
(2)建立平面直角坐标系以B为原点，BC方向为X轴，BA方向为Y轴
不妨设正方形边长为a，p（x，y）
所以E（x,0) F(a,y)
EF=根号((a-x)平方+y平方）
AP=根号（x平方+（a-y）平方）
因为p在直线BD上
所以满足方程y=x
所以AP=EF
过点p作pH平行EF交CD于H
那么EF=PH且平行
连接AH，在三角形APH中AP/AB=PH/BC
所以三角形APH相似于三角形ABC
故AP⊥EF
(3)与2小题解法差不多一样 用（2）的坐标
E(a+x，0)， F（a，y-a）
由2可知AP=EF
过p作PH平行于EF交X轴于H
由2不难证三角形APH相似于三角形ABC
所以AP⊥EF

Answer 4

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE，
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE，
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．

Answer 5

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE，
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE，
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．

Answer 6

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O.
∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点
∴点A,O,C在同一直线上 AC=BD AC⊥BD
∵OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD
∴OA=OB=OC=OD
∵OB=OC PE⊥BC
∴E是BC的中点
∵OC=OD PF⊥CD
∴F是CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF‖BD EF=1/2BC
∴OA⊥EF OA=EF
∴AP=EF AP⊥EF

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形（证△BMP≌△BEP）
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE，
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PBF；
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；