Question

求帮忙解一个方程组！！！

设其次线性方程组：
(1+a)x1+1x2+1x3+…+1xn=0
2x1+(2+a)x2+2x3+…+2xn=0
3x1+3x2+(3+a)x3+…+3xn=0
…
nx1+nx2+nx3+…+(n+a)xn=0
问a取何值时，方程组有非零解，并求其通解。

Answer 1

解: 方程组有非零解当且仅当系数行列式=0.

系数行列式 =
1+a 1 1 ... 1
2 2+a 2 ... 2
3 3 3+a... 3
... ...
n n n ...n+a

ri - ir1, i=2,3,...,n
1+a 1 1 ... 1
-2a a 0 ... 0
-3a 0 a ... 0
... ...
-na 0 0 ... a

c1+ici, i=2,3,...,n
t 1 1 ... 1
0 a 0 ... 0
0 0 a ... 0
... ...
0 0 0 ... a
其中 t = 1+a+2a+3a+...+na = 1 + n(n+1)a/2

所以系数行列式 = [1 + n(n+1)a/2]a^(n-1).
所以当 a=0 或 a= -2/[n(n+1)] 时方程组有非零解.

当a=0时, 系数矩阵化为
1 1 1 ... 1
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
... ...
0 0 0 ... 0
方程组的解为 c1(-1,1,0,...,0)'+c2(-1,0,1,...,0)'+...+c(n-1)(-1,0,0,...,1)'

当a= -2/[n(n+1)]时, 系数矩阵化为
0 1 1 ... 1
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ...
0 0 0 ... 1

第1行减所有行得
0 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ...
0 0 0 ... 1

方程组的解为: c(1,0,0,...,0)'.

终于搞定了!

Answer 2

矩阵问题，求行列式的值~
可以把每一行的系数都加到第一行，再化简计算
方程组有非零解，要求行列式值为零，也就是[a+(1+n)n/2]*（a的n-1次方）=0
a=-(1+n)n/2或a=0

Answer 3

...................不知道 看着就防 应该是走 规律的吧