Question

数学问题,求解答

在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边边长依次为a,b,c,若B=(π-A)/3

(1)求∠B的取值范围

(2)求c/b的取值范围

请各位高手帮帮忙啊,万分感谢

请写清你的思考过程,以便于我学习,谢谢.

Answer 1

思路：
1）利用 B=(π-A)/3、0<A<π/2、A+B+C=π 求出 B的最大、最小值
2）求出角度B和C的关系以及范围，并利用 c/b = sinC/sinB 进一步求出c/b的范围

具体过程：
(1)
B=(π-A)/3 = π/3 - A/3
0<A<π/2
因此 π/3 > B > π/6
另一方面 A = π - 3B 代入到下式
A+B+C =π
π-3B+B+C =π
C=2B
因为 0 < C < π/2 所以
0 < B <π/4

两个结果取交集，得到角B的范围：π/6 < B < π/4

（另外 π/3 < C < π/2、、、π/4 < A < π/2）

(2)
从顶点A向边a做垂线，则垂线高度为c * sinB
同时也为 b*sinC
即 c*sinB = b*sinC
所以 c/b = sinC/sinB=sin2B/sinB = 2sinBcosB/sinB = 2cosB
因为 π/6 < B < π/4 所以 √3/2 > cosB > √2/2
即 c/b ∈(√2, √3)