Question

已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x^2+x-2,求f(x),g(x)的解析式。

已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x^2+x-2,求f(x),g(x)的解析式。

Answer 1

f(x)是偶函数，设参数函数h(x)
f(x)=h(x)+h(-x)
g(x)是奇函数
g(x)=h(x)-h(-x)
f(x)+g(x)=2h(x)
则
h(x)=(1/2)(x^2+x-2)
f(x)=h(x)+h(-x)
=(1/2)(x^2+x-2)+(1/2)(x^2-x-2)
=x^2-2
g(x)=h(x)-h(-x)
=(1/2)(x^2+x-2)-(1/2)(x^2-x-2)
=x

Answer 2

f(-x)+g(-x)=(-x)^2-x-2

-f(x)+g(x)=x^2-x-2

f(x)+g(x)=x^2+x-2

2f(x)=2x

f(x)=x

g(x)=x^2+x-2-x = x^2-2

Answer 3

因为f(X)为偶函数所以f(X)=f(-X)
因为g(X)为奇函数所以g(X)=f(-x)
有定义可知f(x)=X^2+C(C为任意常数)在本题中C=-2
则g(x)=X
代入检验即可