Question

一道高中数学解析几何题~ 麻烦大家~

Answer 1

步骤：1、由离心率可求出a、b间关系（a=2b)；2、设出椭圆方程及A、B坐标，将A、B坐标代入椭圆方程相减并整理，可得AB的斜率为-1（即所谓代点法，这时处理中点弦问题的常用方法之一，总能得到弦的中点坐标与斜率的关系），从而得到AB的方程；3、将直线方程与圆方程联立，可求出A、B的坐标，代入椭圆方程即可得a、b；4）向量关系意味着PO与AB平行，因此存在两个满足条件的P，就是椭圆与直线a=-x的交点。（解析几何中，处理向量关系式的思路不外有两种：一、对向量式子加以几何解释，能解释则总能简化运算；二、将向量式子用坐标表示后再化简。）
具体运算请自己进行，如果总指望别人完全算出，是无法提高自己的能力的。

追问

答案设A(x1,y1) B(x2,y2) 得出x1+x2=8 y1+y2=2 请问这是怎么达到的呢？ 我看不出来

追答

答案使用最常规的联立方程组的方法，当用韦达定理可得到用斜率表示x1+x2， y1+y2 的式子，注意：这正是弦的中点坐标的两倍！因中点恰为圆心，即（4,1）点，所以x1+x2=8 y1+y2=2。从而可利用其求出AB的斜率、方程。一下就如前述了。

追问

"将A、B坐标代入椭圆方程相减并整理，可得AB的斜率为-1（即所谓代点法，这时处理中点弦问题的常用方法之一，总能得到弦的中点坐标与斜率的关系）"
我想问下什么时候能看出来要设点然后代入相减呢？
我做这题时，第一反应是设直线方程，椭圆方程--联立--得出关系式
根据题意，直线方程可以设为y=kx+5 椭圆方程可设为(x^2)/(4b^2)+(y^2)/b^2=1
联立后得到(4k^2+1）x^2+40kx+100-4b^2=0再由韦达定理得到的k有-1和-1/2 ?

追答

要注意用代点法，只能得到弦的中点坐标与斜率的关系，因此，问题若涉及炫长、夹角等其他关系时，代点法就不适用了！同时，代点法含有一点必须注意，就是直线圆锥曲线如何保证相交，是需要特别注意的（联立方程组的方法中，只需利用判别式即可），代点法中应利用中点是否在曲线的内部来判断。

Answer 2

【1】直线AB:y=5-x.椭圆：x²+4y²=36.【2】P(-6/√5,6/√5),或P（6/√5,-6/√5).

Answer 3

第一问：设直线方程为y=k(x-4)+1;设A(x1,y1) B(x2,y2);根据A,B与圆心的距离 列出两个方程；得到x1,x2为方程（1＋k^2）(x-4)^2=32/5的两个根；从而解出x1 x2为含有k的式子；将A,B分别用k表示；再分别代入椭圆方程得到两个方程；根据离心率求出a,b的关系约掉一个变量 ；从而得到一个2愿方程 解出a与k或b与k；从而得到直线方程与椭圆方程；
第二问：设p（acos(t),bsin(t)）求出pf1+pf2向量的值，只要与AB公线的方程可以解出t就说明存在；
对了 再设直线方程的时候还要考虑直线斜率不存在的情况。。