Question

求助微积分

Answer 1

寻找辅助函数F(x)的方法（注：所有使用罗尔定理的题目，都可用此方法来寻找辅助函数）

将所求式子改写成关于x的微分方程：f'(x)/f(x)=1/(b-x) -2/(x-a)

df(x)/f(x)=[-1/(x-b)-2/(x-a)]dx

ln|f(x)|=-ln|x-b|-2ln|x-a|+ln|C|

从而f(x)(x-b)(x-a)²=C

将C换成F(x)，即得   【注：以上寻找过程可省略，直接把辅助函数设出来即可，如下】

令F(x)=f(x)(x-b)(x-a)²,

显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a，b)内可导，

且F(a)=F(b)=0，

由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得

F'(ξ)=0,整理即：f'(ξ)/f(ξ)=1/(b-ξ) -2/(ξ-a)

Answer 2

追问

怎么知道要构造这个函数

我知道了是不是积分

追答

是积分，中值定理的问题很多时候可以通过积分来求出辅助函数。

Answer 3

构造函数g(x)=f(x)(b-x)(a-x)²
g(a)=g(b)=0
由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使g'(ξ)=0求导整理即可以得到证明。

追问

怎么知道要构造这个函数

追答

要证明的式子左右两端对ξ求积分，移项就行了

最后整理一下，把ξ换成x

追问

谢谢啦