Question

求数学高手指教，关于数列的算法（分式求和，错位相减，裂项求和）

分式求和，错位相减，裂项求和的算法和如何运用
稍微再详细一点吧

Answer 1

1.1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=γ+ln(n)
γ叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209

学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：

由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0

所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等

2.1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/（2n-1)-1/2n=ln2
利用上题的结果
裂项求和：当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1） 可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1）） 然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。
倒序相加：最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。。。所以便有首项加末项乘以项数除以二。
错位相减：这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。
分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。

Answer 2

错位相减一般是求，像分子等差分母等比的数列的。列项求和一般是，像分子是常数分母像n（n+1）把他拆成n分之常数减（n+1）分之常数。你说的那个分式求和一般都是不会让你求通项的，只不过会出有关不等式证明题，要用数学归纳法。

Answer 3

列项求和分式 求和的 形式 很简单 基本上看一眼就能 知道 题型很少 那个你 买一套题基本上就 能 很熟悉了 主要是 错位想减 那个 需要观察一下 各个数列的 特点 尤其是 分子 分母 成等差 等比数列的 基本上都是 用 错位想减 这里打字太麻烦了 有邮箱 再说 吧 如果你还有一年 那我 劝你 买一套 5.3 然后 坐2套题基本高考 没问题

Answer 4

首先掌握基本的数列公式，理解其内在含义；
其次要灵活变通，公式的每一项可以代表多种形式，根据具体情况构造公式的应用条件。

Answer 5

特殊数列的求和，我是背一点公式的。买本书呗。