Question

求教道简单高数微分的题目

证明函数在点（0，0）处不可微
函数时F(X,Y)=xy/(x^2+y^2) x^2+y^2不等于0
F(X,Y)=0 x^2+y^2等于0

帮忙解答一下啊，谢谢啊

Answer 1

目前证明多元函数的可微性只能用定义证：以下（出现lim ，则△x,△y都是趋于0）
fx(0,0)=lim【f(△x,0)-f(0,0)】/△x=0
fy(0,0)=lim[f(0,△y)-f(0,0)]/△y=0
又因为△z=f(△x,△y)-f(0,0)=△x*△y/（△x^2 + △y^2）
lim{△z-[fx(0,0)△x+fy(0,0)△y]}/(△x^2+△y^2)^(1/2)=△x*△y/（△x^2 + △y^2)^(3/2)
沿y=kx方向其lim不恒等于0
故不可微。

Answer 2

设y=kx
lim x→0，y→0 xy/(x^2+y^2)=lim x→0 kx^2/(k^2+1)x^2=k/(k^2+1)
该值与k有关 因此函数在点（0，0）处不可微