Question

证明：　　

⑴ 函数f（x）=-x-2在（-∞，+∞）上是减函数；
⑵ 函数f（x）=2x²+1在（-∞，0）上是减函数）.

Answer 1

（1）证：f(x)=-x-2，对f(x)求1阶导数，可得f'(x)=-1，此时x在f(x)的定义域上（-∞，+∞），有f'(x)<0恒成立，故f(x)在（-∞，+∞）上单调递减，是减函数。
（2）证：f(x)=2x²+1，对f(x)求1阶导数，可得f'(x)=4x，当x∈（-∞，0）时，f'(x)<0恒成立。故f(x)在（-∞，0）上单调递减，是减函数。

Answer 2

(1) 任取x1, x2 ∈ (-∞, +∞)， x1<x2
f(x1)-f(x2)=(-x1-2)-(-x2-2)=x2-x1>0
所以是减函数
(2) 任取x1, x2∈(-∞, 0)，x1<x2
f(x1)-f(x2)=2x1²+1-(2x2²+1)=2(x1²-x2²)=2(x1-x2)(x1+x2)>0
所以是减函数