操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形 ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑
操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。探究:设A、P两点间的距离为x...
操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形 ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑 动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线 DC相交于点Q。
探究:设A、P两点间的距离为x。
(1)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为 y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的 定义域;
(2)当点P在线段AC上滑动时,?PCQ是否可能成 为等腰三角形?如果可能,指出所有能使?PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x 的值;如果不可能,试说明理由。
要过程,,,,,,,,图片发啦 展开
探究:设A、P两点间的距离为x。
(1)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为 y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的 定义域;
(2)当点P在线段AC上滑动时,?PCQ是否可能成 为等腰三角形?如果可能,指出所有能使?PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x 的值;如果不可能,试说明理由。
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分析:(1)测量略.PB=PQ
可通过构建全等三角形来证PB=PQ,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,由于△PEC是等腰直角三角形,因此PE=EC,可得出四边形PECF是正方形,由此可得出PE=PF,根据同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE,这两个三角形中又有一组直角,因此构成了全等三角形判定条件中ASA的条件.根据全等三角形即可得出PB=PQ.
(2)可先用x表示出PC,然后在直角三角形PFC中求出FC的长,即可求出BF的长,也就求出了CE,QE的长,然后根据CQ=CE-QE即可得出y,x的函数关系式.
解:(1)过点P作AD的垂线,垂足为N,交BC于M;作PH垂直CD于H.
∵∠CAD=45°.
∴∠APN=∠PAN=45°,AN=PN=x,则:PM=MN-PN=1-x, PH=ND=AD-AN=1-x.故PM=PH;
∵∠PMC=∠MCH=∠PHC=90°.
∴∠MPH=∠BPQ=90°,则∠BPM=∠QPH;
又∠PMB=∠PHQ=90°.故⊿PMB≌⊿PHQ,得S⊿PMB=S⊿PHQ.
∴S四边形PBCQ=S矩形MPHHC.
所以:y=PM*PH=(1-x)(1-x)=x²-2x+1.
定义域是:0<x≤1/2.
(2)过点P作PM垂直BC于M,作PN垂直CD于N
(现在证明△BPM和△QPN是全等三角形)
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM+∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP=∠QNP=90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中,
∵∠BPM=∠QPN,∠BMP=∠QNP,PM=PN
根据角角边定理得:
∴△BPM≌△QPN
∴PB=PQ
点评:本题结合运动类问题考查了一次函数和二次函数的综合应用,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
可通过构建全等三角形来证PB=PQ,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,由于△PEC是等腰直角三角形,因此PE=EC,可得出四边形PECF是正方形,由此可得出PE=PF,根据同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE,这两个三角形中又有一组直角,因此构成了全等三角形判定条件中ASA的条件.根据全等三角形即可得出PB=PQ.
(2)可先用x表示出PC,然后在直角三角形PFC中求出FC的长,即可求出BF的长,也就求出了CE,QE的长,然后根据CQ=CE-QE即可得出y,x的函数关系式.
解:(1)过点P作AD的垂线,垂足为N,交BC于M;作PH垂直CD于H.
∵∠CAD=45°.
∴∠APN=∠PAN=45°,AN=PN=x,则:PM=MN-PN=1-x, PH=ND=AD-AN=1-x.故PM=PH;
∵∠PMC=∠MCH=∠PHC=90°.
∴∠MPH=∠BPQ=90°,则∠BPM=∠QPH;
又∠PMB=∠PHQ=90°.故⊿PMB≌⊿PHQ,得S⊿PMB=S⊿PHQ.
∴S四边形PBCQ=S矩形MPHHC.
所以:y=PM*PH=(1-x)(1-x)=x²-2x+1.
定义域是:0<x≤1/2.
(2)过点P作PM垂直BC于M,作PN垂直CD于N
(现在证明△BPM和△QPN是全等三角形)
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM+∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP=∠QNP=90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中,
∵∠BPM=∠QPN,∠BMP=∠QNP,PM=PN
根据角角边定理得:
∴△BPM≌△QPN
∴PB=PQ
点评:本题结合运动类问题考查了一次函数和二次函数的综合应用,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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过点P作PM垂直BC于M,作PN垂直CD于N
(现在证明△BPM和△QPN是全等三角形)
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM+∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP=∠QNP=90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中,
∵∠BPM=∠QPN,∠BMP=∠QNP,PM=PN
根据角角边定理得:
∴△BPM≌△QPN
∴PB=PQ
(现在证明△BPM和△QPN是全等三角形)
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM+∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP=∠QNP=90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中,
∵∠BPM=∠QPN,∠BMP=∠QNP,PM=PN
根据角角边定理得:
∴△BPM≌△QPN
∴PB=PQ
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解:(1)(说明:表略,两线段长度基本相等即可)经测量,得PB=PQ
证明:如图,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,
∵∠PCE=45°,∠PEQ=90°,
∴PE=EC.
∴四边形PFCE是正方形.
∴PE=PF.
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ,∠BFP=∠PEQ=90°,
∴△BPF≌△QPE.
∴BP=PQ;
证明:如图,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,
∵∠PCE=45°,∠PEQ=90°,
∴PE=EC.
∴四边形PFCE是正方形.
∴PE=PF.
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ,∠BFP=∠PEQ=90°,
∴△BPF≌△QPE.
∴BP=PQ;
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过p做平行于BC的直线,就变成一线三角的问题了~!
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