Question

下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，... 试问：

下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，... 试问：
（1）其中第300个数被6除余几？
（2）如果数列按第 n 组含有 n 个数的规律分组，成为：（1），（3,4），（7,11,18），...，那么第300组内各数之和除以6的余数是多少？

Answer 1

类似于斐波拉切数列
后一个数是前两个数之和

请参考斐波那挈数列通项公式的推导，应该对您有帮助的
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

追问

我是小学生啊，这是奥数题目，看不懂你的答案啊

追答

这是小学奥数题啊？那我再想想看哦！

Answer 2

(1)除以6的余数分别为:1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2,1,3,4,……
可见1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0, 1,1,2,3,5,2是它的循环节,周期为.24
300÷24=12余12,所以第300个数被6除余4(循环节的第12个数)
(2)前299组共有数1+2+……＋299=(1+299)*299/2=150*299,
最后一个数,即第150*299个数,它除以24的余数为18,第18个数为0
所以第300组300个数除以6的余数分别为1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0, ……
连续12组还带前面的12个数,所以
第300组内各数之和除以6的余数
=[(1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0)*12
+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余数=[1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0]除以6的余数
=4.

Answer 3

这是斐波那契数列
1。 除以6的余数的规律为：1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2, 1,3,4,1.。。。。
周期为24,300÷24＝12.。。12，所以第300个数的余数为4.
2.1+2+3+。。。+300=45150
45150÷24=1881.。。。6 300÷24＝12.。。12 第300组数的余数为
1,1,2,3,5,2 1,3,4，。。。。1,1,2,3,5,2， 1,3,4,1,5,0
他们的和除以6 的余数为
2+2=4

Answer 4

(1)仔细观察发现:每12个数的尾数,是一组循环,而第300个数恰好是这第25组的最后一个数,第12个数除以6相当于第300个数除以6,即322除以6余数是4,,可知第300个数被6除余数也是4!

话说小学数学这么犀利了,哎,中国的教育呀,如此地步,智力开发太早是没有童年快乐的

Answer 5

a1/6=?----1 a2/6=?----3 a3/6=?----4 a4/6=?----1 a5/6=?----5
a6/6=?----0 a7/6=?----5 a8/6=?----5 a9/6=?----4 a10/6=?----3
a11/6=?----1 a12/6=?----4 a13/6=?----5 a14/6=?----3 a15/6=?----2
a16=?----5 a17/6=?----1 a18/6=?----0 a19/6=?----1 a20/6=?----1
a21/6=?----2 a22/6=?----3 a23/6=?----5 a24/6=?----2

a25/6=?----1 a26/6=?----3 a27/6=?----4 a28/6=?----1 a29/6=?----5

被6除的余数每24项一循环，
300/24=12-----12
第12项被6除的余数：4

299*（1+299）/2=46345
第300组的第1项为原数列的第46346,
46346/24=1931——2，该项的余数为原数列第2项的余数
第300组有300项
300/24=12-----12
第300组所有项除6的余数等于从原数列第2项开始的12项的余数和再除以6
最终为4