Question

为什么这道题不能用积分中值定理？

我感觉这个条件满足积分中值定理的使用条件，但是用积分中值定理得不出正确答案，得用洛必达。

Answer 1

积分中值定理是说，若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分闭区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立，其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b，也就是说，ξ是可以取到区间的两个端点值a或者b，而题目中给定的是在开区间（0,1）的，其乘以x以后得到的参数x，也就是可以看成是ξ，所在区间是一个开区间(0,x)，因此取不到区间的两个端点值的，不满足积分中值定理得到的闭区间的条件，不能用积分中值定理。我是这么想的，不知道对不对。

Answer 2

积分中值定理是说，若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分闭区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立，其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b，也就是说，ξ是可以取到区间的两个端点值a或者b，而题目中给定的是在开区间（0,1）的，其乘以x以后得到的参数x，也就是可以看成是ξ，所在区间是一个开区间(0,x)，因此取不到区间的两个端点值的，不满足积分中值定理得到的闭区间的条件，不能用积分中值定理。我是这么想的，不知道对不对。

Answer 3

一定要用积分中值定理也是可以用的，只不过要稍微变通一点
令g(x)=f(x)-Ax, 那么当x->0时g(x)=o(x), 即lim g(x)/x=0
接下来先化简再用积分中值定理:

int_0^x f(u) du = int_0^x (Au+g(u)) du = 1/2*Ax^2 + int_0^x g(u) du = 1/2*Ax^2 + g(xi)x
所以 int_0^x f(u) du / x^2 = A/2 + g(xi)/x
再利用 g(xi)/x = g(xi)/xi * xi/x, g(xi)/xi是无穷小量，xi/x是有界量，相乘的极限为0
这样就得到 int_0^x f(u) du / x^2 -> A/2

Answer 4

个人不建议硬扯积分中值定理。对于极限而言，显然洛必达要比积分中值定理要好很多。因为积分中值定理是选择某个点的函数值，而这个点靠近x=0的程度对于求极限是比较饶头的。

要注意：解决问题要寻求“好”的方法，而不是套用“好”的定理来求解，强求特定定理不仅仅效率低，而且也是学习方法不成熟的表现

Answer 5

积分中值定理是说，若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分闭区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立，其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b，也就是说，ξ是可以取到区间的两个端点值a或者b，而题目中给定的是在开区间（0,1）的，其乘以x以后得到的参数x，也就是可以看成是ξ，所在区间是一个开区间(0,x)，因此取不到区间的两个端点值的，不满足积分中值定理得到的闭区间的条件，不能用积分中值定理。我是这么想的，不知道对不对。