Question

高二数学，关于圆的方程

已知：圆c（x-1）²+（y-2）²=25，直线L（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 （m为实数）求证：（1）不论m为任何实数，L与圆c相交。（2）求L被圆c截得弦长最短时，直线L的方程。

Answer 1

证明:1）(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
2mx+my-7m+x+y-4=0
由方程知直线恒过点A（3,1）
又点A（3,1）在圆c内，所以无论m为何值L与c相交
2）连接圆心o和a点，则垂直半径oa的弦最短，半径oa的斜率为-1/2
所以直线斜率为2，所以-(2m+1)/(m+1)=2，m=-1/4,直线方程为1/2x+3/4y+23/4=0

追问

2mx+my-7m+x+y-4=0
可是怎么 由方程知直线恒过点A（3,1）呢？

追答

可证oa的长oa=根号5而圆半径r=5，所以a点在圆内

Answer 2

1.L：（2x+y-7)m+x+y-4=0，令2x+y-7=0,& x+y-4=0,解得x=3,y=1 L过定点M（3,1）
且|MC|=根号（4+1）<5,所以不论m为任何实数，L与圆c相交。
2。弦长（AB=2根号（25-CH^2)>=2根号（25-CM^2)=4根号5

Answer 3

（1）首先，将直线L整理一遍，把关于m的都放在一起，得到两个方程
2x+y=7和x+y=4，解得x=3，y=1即直线恒过点（3,1），将点代入圆。得到的数小于25，所以点在园内，所以L与圆恒相交
（2）根据公式求出圆心到L的距离d，要使弦长最短，则d要取最小值，然后用求导的方式，可求出m的值。