Question

在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，∠BDC=∠CEA，BD与CE交于点F，

在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，∠BDC=∠CEA，BD与CE交于点F，
求证：BE乘BA+CD乘CA=BC^2

Answer 1

在BC上取一点G，连接FG，使得∠BGF=∠BDC。由∠BDC=∠CEA可知，ΔCFD相似于ΔCAE，ΔBEF相似于ΔBDA，由此可推出CD/CF=CE/CA及BE/BF=BD/BA，即CD*CA=CE*CF及BE*BA=BF*BD，因此CD*CA+BE*BA=CE*CF+BF*BD。

由辅助线条件∠BGF=∠BDC可知，ΔCGF相似于ΔCEB，ΔBGF相似于ΔBDC，因此有CE*CF=CG*BC及BF*BD=BG*BC，因此有CE*CF+BF*BD=CG*BC+BG*BC=BC^2成立。证明完毕。