Question

如图所示，已知三角形ABC中，AB=AC=a,M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AD于Q.

<1>问线段QM、PM、AB之间有什么关系?<2>M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？

Answer 1

在中点的时候

如题意可得PM∥AB，QM∥AC，可得∠PMC=∠，∠QMB=∠C，∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB，B在中点可以得出BM=CM，∴根据角边角可以得出△QBM≌△PMC，∴QB=PC，∴AB—QB=AC—PC即AQ=AP，在四边形AQPM中四边相等，且有一个角不是直角，∴四边形AQPM是菱形

Answer 2

(1) QM//AC,所以∠MQB=∠A，所以三角形MQB为等腰三角形，即MQ=BQ,又因为MP=AQ，所以QM+MP=AB
(2)要使四边形为菱形，即四条边相等，MP=QM=AQ=QP,只有当M为BC中点时成立