Question

Xi>=0,X1+X2...+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...Xn-1Xn(Xn-1+Xn)<=1/4

Answer 1

证明：
先证一个结论。
设x，y≥0且x+y≤ 2/3，则(1-x) x^2+(1-y) y^2 ≤ (1-x-y) (x+y)^2。

(1-x) x^2+(1-y) y^2-(1-x-y) (x+y)^2
=[(1-x) x^2-(1-x-y)x^2]+[(1-y) y^2-(1-x-y)y^2]-2xy(1-x-y)
=yx^2+xy^2-2xy(1-x-y)
=xy[3(x+y)-2]
≤0

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下面用数学归纳法来证明原命题。
当n=2时，容易验证结论是正确的。

设当n=m (m≥2)时，原命题是正确的。

当n=m+1时，不失一般性，设X1≥X2≥X3≥......≥Xm≥ Xm+1，则Xm+Xm+1≤2/(m+1)≤2/3。
(若Xm+ Xm+1>2/m，则 2=2(X1+X2+...+Xm+Xm+1)=(X1+X2)+(X2+X3)+...+(Xm+Xm+1)+(Xm+1+X1)≥(m+1)(Xm+Xm+1)>2，矛盾。)

用刚开始得到的结论，显然有：(1-Xm)(Xm)^2+(1-Xm+1)(Xm+1)^2≤(1-Xm-Xm+1)(Xm+Xm+1)^2。

设Y1=X1，Y2=X2，...，Ym-1=Xm-1，Ym=Xm+Xm+1，则
X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...XmXm+1(Xm+Xm+1)
=(1-X1)(X1)^2+(1-X2)(X2)^2+......+(1-Xm)(Xm)^2+(1-Xm+1)(Xm+1)^2
≤(1-Y1)(Y1)^2+(1-Y2)(Y2)^2+......+(1-Ym)(Ym)^2
≤1/4，
证毕。

Answer 2

易证明：对于任何x，若0<=x<=1，有均值不等式，则x(1-x)<=1/4 (1)。

记题中不等式左边为S,则S=x1^2(1-x1)+x2^2(1-x2)+...+xn^2(1-xn)；
对于1<=i<=n,i为整数;0<=xi<=1,则xi*xi(1-xi)<=xi/4；
所以s<=(x1+x2+...xn)/4=1/4 (2);
考察等式成立条件，由（1）成立条件知x=1/2，结合条件知当且仅当xi中有两个等于1/2时成立。