Question

a1=2 an+1=2an+1，求an

1）a1=2 an+1=2an+1，求an
2）a1=1，an+1-2an=2^n,求an

Answer 1

1）a1=2 an+1=2an+1, 利用待定系数法：
a(n+1) +1 = 2(an+1), [ a(n+1) +1] /( an+1) =2
所以数列{an+1}是公比为2， 首项为 3的等比数列，
an +1 = 3*2^(n-1) 即 an = 3*2^(n-1) -1
(2) a(n+1) - 2an = 2^n ( 如果推导公式中有，a^n, 那么一般用a^n除以两边）两边用2^n除
a(n+1)/ 2^n - an/ 2^(n-1) =1
所以数列 {an./2^(n-1)}是首项为 1, 公差为 1的等差数列。
an/2^(n-1) = 1 +(n-1)*1 =n
an = n*2^(n-1)

Answer 2

1.
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+1+1=2(an+1)

所以数列{an+1}是等比数列，公比是q=2,首项是a1+1=2+1=3

所以an+1=(a1+1)*q^(n-1)=3*2^(n-1)

故an=3*2^(n-1)-1

2.
因为a(n+1)-2an=2^n
两边同时除以2^(n+1)得
a^(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1/2
所以数列{an/2^n}是等差数列，公差是d=1/2

所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)d=1/2+(n-1)/2=n/2

所以an=(n*2^n)/2