Question

三角函数题。

1.满足条件AB=2，AC=√2BC的△ABC的面积最大值是？

2.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架。三角形支架ABC以BC为底，要求角ABC=60°，BC的长度要大于1米，且AC比AB长0.5米。为了是广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC的长度为多少米？

我需要详细的过程。。。拜托了
那个、不是角ABC，是角ACB。。

Answer 1

第一题：C点的轨迹应该是一个圆，你可以拿A、B两点做一个直角坐标系，使A为（-1，0）、B为（1，0）。设C为坐标（x，y），然后根据AC与BC的长度关系得到： （x+1）^2+y^2 = 2*( (x-1)^2+y^2 )
则C的轨迹为 y^2+（x-3）^2=8 是一个圆。
在坐标系上画出该圆的轨迹，可以看出在 x=3 处，ABC面积最大，为二倍根号二

Answer 2

1：设BC=x,∠ABC=θ，根据余弦定理有：x²+4-2x²=4xcosθ，设三角形面积为s，那么有：s=xsinθ，消去θ得：(1-x²/4)²+s²=x²，s²=8-(x²/4-3)²，显然当x²=12，时s有最大值为2根号2
2：设BC=y,AB=x,那么根据余弦定理有：x²+y²-xy=(x+1/2)²，化简得：y²-xy-(x+1/4)=0
y=[x+(x²+4x+1)^(1/2)]/2≥1，解得x≥3/8,所以AC最短为3/8+1/2=7/8,此时BC(y)=1

追问

sorry啊，我没表述清楚。不是角ABC是角ACB。。。而且，从y²-xy-(x+1/4)=0到y=[x+(x²+4x+1)^(1/2)]/2≥1，是怎么来的啊？

追答

从y²-xy-(x+1/4)=0到y=[x+(x²+4x+1)^(1/2)]/2≥1是把y看成变量，x看成常量就是关于y的一元二次方程的求根公式啊。
如果是∠ACB=60°，设AC=x，那么根据余弦定理有：x=(y²-1/4)/(y-1)=(y-1)+3/4(y-1)+2≥2+根号3
当且仅当y-1=3/4(y-1)即y=1+(根号3)/2时等式成立，所以AC=2+根号3,BC=1+(根号3)/2

Answer 3

1. 2.82
2. 1米

Answer 4

[1 ]2根号2