Question

在平面直角坐标系中，直线Y=-2X+10与X轴、Y轴分别交于A、B两点，点C[4,n]在该直线上，

求抛物线Y=X²+BX+C经过A、C两点。
[1]求N的值及该抛物线所对应的函数关系式；
[2]有一个矩形DEFG，DE=1，点F在Y轴右侧沿[1]中的抛物线滑动，在滑动过程中EF所在的直线平行于Y轴，DE在GF下方。
① 当点G在Y轴上时，DE恰好在X轴上，求此时矩形DEFG的周长;
② 当①中的矩形DEFG的形状固定不变时，它在滑动过程中被X轴分成两部分的面积比为1：4时，求点F的坐标。
[3] 当点F从A到C点滑动过程中，设点F的横坐标为T，△AFC的面积为S，求S与T的函数关系式，判断S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由。
上面应该是：抛物线Y=X²+BX+C经过A、C两点。

Answer 1

由已知得：A（5,0）B（10,0）
(1)把C点的坐标带入直线的方程式，得出：n=2
由上得出C（4,2），将两个已知点A,B带入抛物线的方程式得：
25+5B+C=0
16+4B+C=2 可得出B=-11，C=30
所以抛物线的函数式为：Y=X²-11X+30