Question

向量组线性相关的问题

判别向量组a1=(1，2，-1，5)，a2=(2，-1，1，1)，a3=(4，3，-1，11) 是否线性相关。

Answer 1

最基本得做法：
由定义来：
令Aa1+Ba2+Ca3=0
即A(1,2,-1,5)+B(2,-1,1,1)+C(4,3,-1,11)=(0,0,0,0)
然后就有
A+2B+4C=0
2A-B-C=0
-A+B-C=0
5A+B+11C=0

然后就是看A,B,C的解的情况，只有零解即线性无关，有非零解即线性相关。

第二种做法，其实就4个方程而言
A+2B+4C=0
2A-B-C=0
-A+B-C=0
5A+B+11C=0
<=>
1 2 4
2 -1 -1
-1 1 -1
5 1 11
这个4*3矩阵，记为Q吧，

Q*(A,B,C)' =0 其中(A,B,C)'是列向量
OK，所以很容易知道R(Q)=3时，只有0解，R(Q)<3时无数解，其中R(Q)为矩阵Q的秩
这就是2楼所说的矩阵法的简单说明。

然后对这道题而言
我们可以看到Q=(a1',a2',a3',a4') ai'表示列向量 i=1,2,3,4
然后用Gauss消元法，其实就是矩阵的初等变换，
得到变换后的Q'= 1 2 4
0 3 3
0 0 0
0 0 0
所以R(Q)=2,所以有非零解，ok,线性相关

Answer 2

是线性相关的，我一般是通过矩阵来判断的，更方便一些
就是考虑以ai为行向量组成的矩阵，然后行与行之间进行消元，你应该见过这种方法吧

Answer 3

你看下线性相关和线性无关的定义就知道了
定义是这样的：设A1，A2，……，An是一个向量组，如果存在不全为零的常数K1，K2，……，Kn，使得式子（一）K1A1+K2A2+……+KnAn=0，则称A1，A2，……，An这个向量组线性相关，如果要K1，K2，……，Kn全为零式子（一）才成立的话，那他就线性无关了。
你A,B,D三个选项中都可以满足线性相关的定义呀，那肯定是线性相关啦

Answer 4

a2' = a2 - 2a1 = (0, -5, 3, -9)
a3' = a3 - 4a1 = (0, -5, 3, -9)
显然a2' = a3'
因此a2 -2a1 = a3 -4a1
2a1 +a2 -a3 =0
向量线性相关