Question

关于概率的问题

设随机变量X与Y互相独立，其概率密度分别为fX(x)，当0≦x≦1时等于1，其他情况为0；
fY(y)：当y>0时，fY(y)=e^(-y)，当y≦0，fY(y)=0；求X+Y的概率密度
请给出步骤哦

Answer 1

X与Y互相独立，所以，f(x, y) = fX(x) fY(y) = e^(-y) 0≦x≦1, y>0
=0, 其它

令Z=X+Y，因为0≦x≦1, y>0，所以，Z的取值范围为 0 到无穷
Z的分布函数cdf 为 F(z)=∫_(0≦x+y≦z) f(x, y) dxdy
分两种情况：
1. z<1，则 积分区域0≦x+y≦z 对应于 0≦x≦z，0≦y≦z-x，此时
F(z)=∫_(0≦x+y≦z) f(x, y) dxdy = ∫_(0≦x≦z) dx ∫_(0≦y≦z-x) e^(-y) dy
= ∫_(0≦x≦z) [1-e^(x-z)]dx = z - 1 + e^(-z)

2. z>=1，则 积分区域0≦x+y≦z 对应于 0≦x≦1，0≦y≦z-x，此时
F(z)=∫_(0≦x+y≦z) f(x, y) dxdy = ∫_(0≦x≦1) dx ∫_(0≦y≦z-x) e^(-y) dy
= ∫_(0≦x≦1) [1-e^(x-z)]dx = 1 - e^(1-z) + e^(-z)

所以，cdf F(z) = z - 1 + e^(-z) 当 0<=z<1，
= 1 - e^(1-z) + e^(-z) 当z>=1。
可以验证F(z) 在 z=1是连续的，F单调递增，在两端极限为0和1 。

概率密度pdf f(z) = F'(z) = 1 - e^(-z) 当 0<=z<1，
= e^(1-z) - e^(-z) = (e-1)e^(-z) 当z>=1。
= 0 当 z<0
可以验证 f(z) >=0, 连续，且积分为1 。

追问

首先感谢你给出这么详细的解答，但如果套卷积公式该怎么做呢

追答

用卷积（convolution）还是一样的，关键要用indicator function (指示函数，嗯，不知道是不是这么翻译的)来限定X和Y的support （即pdf>0的区域），所以要把
fX(x) 写成 I(0=0) ，同样条件满足时 I(y>=0)取1，否则为0 。
然后就可以用卷积了：
f(z) =∫_(-∞=0) dx
这样化简以后就是和用cdf一样的，关键 z-x>=0 必须要满足，否则违背Y的定义了。。。
这题其实用卷积不方便多少。。。如果把indicator function忘了很容易错的。。。

追问

那么z=1是怎么划分出来的呢，另外为什么最后要求导呢，这点我始终不太明白

追答

用二重积分算的是cdf啊，就是累计分布函数，要求导才能得到密度函数啊。用卷积不用求导。

z=1的划分是这样的，你需要同时满足两个不等式，（不管是积分算cdf，还是用卷积）
0=0，而y=z-x，所以，就变成要同时满足：
01，就有：0 放一起，也可以和 < 放一起。单个点的测度是0，反正都不影响。而且 F 和 f 都是连续的。

Answer 2

首先：已知X与Y互相独立，那么X,Y的联合密度函数f(x,y)=fX(x)*fY(y)
2 ：而fX(x)和fY(y)都已知了。所以算出f(x,y)=e^(-y) (0≦x≦1,y≦0),f(x,y)=0(others)。
现在知道了f(x,y)那么就能求出（令Z=）X+Y的分布函数FX+Y(z),fX+Y(z)就是f(x,y)dxdy对(0≦x≦1,y≦0)区域积分。积分注意Z分情况。当Z>1时。为0，当Z<1时积分为∫∫f(x,y)dxdy区域为x+y<z，这里z看做常数。那么也就是二重积分。自己去算吧。呵呵。不过也有公式可以直接求。
3：求出FX+Y(z)后对z求导数。就是X+Y的概率密度函数了。

Answer 3

令Z=X+Y,要求fz(z)
法1:2维连续型随机变量公式
Fz(z)=∫∫f(x,y)dxdy 积分区域为x+y≤z
X,Y独立，所以f(x,y)=fx(x)fy(y)
Fz(z)=∫[0到1]∫[0到(z-x)]e^(-y)dydx=∫[0到1](-e^(x-z)+1)dx
=-e^(1-z)+1+e^(-z)
f(x+y)=f(z)=[Fz(z)]'=e^(1-z)-e^(z)
法2:独立和卷积公式
fz(z)=∫[-∞到+∞]fx(x)fy(z-x)dx=∫[0到1]e^(x-z)dx=e^(1-z)-e^(z)
f(x+y)=f(z)=[Fz(z)]'=e^(1-z)-e^(z)
答毕