Question

求解一道平面解析几何数学题

A是抛物线y^2=2x上的一动点，过A作圆（x-1)^2+y^2=1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于MN两点，当A为(2,2)时求直线MN的方程

Answer 1

设切线方程为y-2=k(x-2)，即kx-y-2k+2=0
圆心(1，0)到切线距离=半径，即|k-0-2k+2|/√(k²+1)=1
解得k=3/4，切线方程为3x-4y+2=0，
另一条切线为k不存在时，x+c=0，|1+c|/√1²=1，解得c=-2，c=0(舍去)
另一条切线为x=2.
切线与抛物线交点M：将y²=2x代入3x-4y+2=0，解得y=2/3，x=2/9，M(2/9，2/3)
切线与抛物线交点N：将x=2代入y²=2x，解得y=±2，N(2，-2)
直线MN方程：(y+2)/(2/3+2)=(x-2)/(2/9-2)，即3x+2y-2=0

Answer 2

设直线为y-2=k(x-2)，即 y=kx-2k+2
代入（x-1)^2+y^2=1
判别式由△=0，得(-1-4k²+4k)² - 4(1+k²)(4k²+4-8k)=0
即16k-12=0
解得k=3/4
y=(3/4)x+1/2,为一条直线。
但是，由图形看，还有一个切点，在（2，0），与圆心在垂直于x轴的直线x=2上，
所以还有直线，x=2