第十二题 多元函数求微分 详细步骤 求教 有点混乱 10
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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12. e^(2yz)+x+y^2+z = 7/4 ① ,
x = y = 1/2 时， e^z+z =1 , 得 z = 0。
求偏导数有两种方法：
法1：式 ① 两边对 x 求偏导， 注意 z 是 x，y 的函数，得
e^(2yz)(2y∂z/∂x)+1+∂z/∂x = 0, x = y = 1/2 , z = 0 代入，得
∂z/∂x+1+∂z/∂x = 0， ∂z/∂x = -1/2；
式 ① 两边对 y 求偏导， 得
e^(2yz)(2z+2y∂z/∂y)+2y+∂z/∂y = 0, x = y = 1/2 , z = 0 代入，得
∂z/∂y+1+∂z/∂y = 0， ∂z/∂y = -1/2；
dz = -(1/2)(dx+dy)
法2：记 F = e^(2yz)+x+y^2+z-7/4，得
Fx = 1， Fy = 2ze^(2yz)+2y, Fz = 2ye^(2yz)+1,
∂z/∂x = -Fx/Fz = -1/[2ye^(2yz)+1],
∂z/∂x = -Fy/Fz = -[2ze^(2yz)+2y]/[2ye^(2yz)+1],
x = y = 1/2 , z = 0 代入，得 ∂z/∂x = -1/2, ∂z/∂y = -1/2,
dz = -(1/2)(dx+dy)
x = y = 1/2 时， e^z+z =1 , 得 z = 0。
求偏导数有两种方法：
法1：式 ① 两边对 x 求偏导， 注意 z 是 x，y 的函数，得
e^(2yz)(2y∂z/∂x)+1+∂z/∂x = 0, x = y = 1/2 , z = 0 代入，得
∂z/∂x+1+∂z/∂x = 0， ∂z/∂x = -1/2；
式 ① 两边对 y 求偏导， 得
e^(2yz)(2z+2y∂z/∂y)+2y+∂z/∂y = 0, x = y = 1/2 , z = 0 代入，得
∂z/∂y+1+∂z/∂y = 0， ∂z/∂y = -1/2；
dz = -(1/2)(dx+dy)
法2：记 F = e^(2yz)+x+y^2+z-7/4，得
Fx = 1， Fy = 2ze^(2yz)+2y, Fz = 2ye^(2yz)+1,
∂z/∂x = -Fx/Fz = -1/[2ye^(2yz)+1],
∂z/∂x = -Fy/Fz = -[2ze^(2yz)+2y]/[2ye^(2yz)+1],
x = y = 1/2 , z = 0 代入，得 ∂z/∂x = -1/2, ∂z/∂y = -1/2,
dz = -(1/2)(dx+dy)
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注意求偏导数时，对x求偏导，就是将y看成常数，然后利用隐函数求导，对y也一样。
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方法如下，
请作参考：
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简单计算一下即可，答案如图所示
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