Question

急！！数学高手快来！x^2-yz/x(1-yz)=y^2-xz/y(1-xz),且x不等于y. 求证x+y+z=1/x+1/y+1/z

数学达人帮我解下上面这道题，谢了！！
难道无人能解这道题？？那我重金悬赏，希望达人们能解此题！！大家不要灌水啊，到底有没有人能解呀？？上面这道题可能在写法上大家有误会，十分抱歉，严谨的话应该这样，（x^2-yz）/[x(1-yz)]=（y^2-xz）/[y(1-xz)]，那两个括号里面的是分母。

Answer 1

楼主把分给我吧，我打这些数学符号打了很久啊。。。 

解这种题，思路很简单，就是中途容易算错。

原式(x2-yz)/[x(1-yz)]=（y2-xz）/[y(1-xz)]

对角相乘xy2-x2z-xy3z+x2yz2-x2y+x3yz+y2z-xy2z2=0

两边除以xy, y-xz/y-y2z+xz2-x+x2z+yz/x-yz2=0

把（x-y）提出来，并两边除以(x-y),  z2-1+(x+y)(z-z/xy)=0

后面就简单了，除以z, z-1/z+(x+y)(1-1/xy)=0

展开，x+y+z=1/x+1/y+1/z

Answer 2

首先鄙视一下灌水的，呵呵。
好做不好写啊。。。。。
是这样的，首先等式右边分子分母各除y，左边分子分母各除x得，(x-(yz/x))/(1-yz)=(y-(xz/y))/(1-xz)，十字相乘，(x-(yz/x))×(1-xz)=（y-(xz/y))×(1-yz)，化简x-(yz/x)-x²z+yz²=y-(xz/y)-y²z+xz²，移项，y-x+yz/x-xz/y+x²z-yz²-y²z+xz²=0，合并同类项，（y-x）+z(y/x-x/y)+z(x²-yz-y²+xz)=0，
(y-x)+z(y-x)(y+x)/(xy)+z{(x+y)(x-y)+z(x-y)}=0，(y-x)(1+z/x+z/y)+z(x-y)(x+y+z)=0，
(y-x){1+z/x+z/y-z(x+y+z)}=0，因为x≠y，所以1+z/x+z/y-z(x+y+z)=0，即z(x+y+z)=1+z/x+z/y
同除z，得x+y+z=1/x+1/y+1/z
楼主看在我辛苦打的份上，把分给我吧。

Answer 3

(x^2-yz)/[x(1-yz)]=(y^2-xz)/[y(1-xz)]
=[x^2-yz-(y^2-xz)]/[x(1-yz)-y(1-xz)] （ 写成分式一眼就知道了）
=(x+y+z)(x-y)/(x-y) x不等于y
=x+y+z

由 (x^2-yz)/[x(1-yz)]=x+y+z
得 x^2-yz=x(1-yz)(x+y+z) =>xyz(x+y+z)=x(x+y+z)-(x^2-yz)=xy+yz+xz
得x+y+z=1/x+1/y+1/z

Answer 4

x^2-yz/x(1-yz)=y^2-xz/y(1-xz) 也就是
x^2-yz/x(1-yz)-y^2-xz/y(1-xz)=0 也就是
x2-y2+1/x-1/y=1/x（1-yz)-1/y(1-xz) 右侧通分
(x-y)(x+y-1/xy)=(y-x)/ xy(1-xz)(1-yz) x不等于y
x2y+xy2-1=-1/（1-xz)(1-yz)
x2yz+xy2z+xyz2=xy+yz+zx 两边除以xyz
x+y+z=1/x+1/y+1/z

追问

真是十分感谢你的解答，但是你好像是误解了那个分母了，那个x2和y2不是单项，x(1-yz)整个是分母，后同理，请看我的问题补充。

Answer 5

大哥你题目没搞错吧，我只取了一组数值代进去就发现问题了
取x=1,y=0.5,代入到第一个式子，得到z1=(3+√33)/2，z2=(3-√33)/2.
取x=1,y=0.5,z1=(3+√33)/2代入到式子2，明显不等嘛

求lz解释。。。。

追问

题应该是没错，你应该误会那个分母了，请看我的问题补充。

追答

晕，题目写清楚点撒，影响很大的
这样的话就没啥好说的了，直接利用已知的式子（x^2-yz）/[x(1-yz)]=（y^2-xz）/[y(1-xz)]化简，能写成等式（x-y）（xy+xz+yz-(x^2)yz-x(y^2)z-xy(z^2) ）=0,已知x-y不为0，所以xy+xz+yz=(x^2)yz+x(y^2)z+xy(z^2) ，化简一下就是所求的式子x+y+z=1/x+1/y+1/z