Question

一道面积分的题，求详解

求面z=cos(x^2+y^2) 与圆柱x^2+y^2=1切后，在圆柱中那一部分的面积

分不是问题，哈，要详细步骤，答得好的朋友有额外分！
谢谢啦，作业题，礼拜五就交了，十分感谢~

Answer 1

求面z=cos(x^2+y^2) 与圆柱x^2+y^2=1切后，在圆柱中那一部分的面积
解：∂z/∂x=-2xsin(x²+y²),， ∂z/∂y=-2ysin(x²+y²)，
从而1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²=1+4(x²+y²)sin²(x²+y²)
故所求面积A=(D)∫∫[1+4(x²+y²)sin²(x²+y²)]dxdy，其中D：x²+y²=1，为方便计算，改用极坐标：
A=(D)∫∫[1+4(x²+y²)sin²(x²+y²)]dxdy=(0，2π)∫dθ∫(0，1)[1+4r²sin²(r²)]rdr
=(0，2π)∫dθ∫(0，1)(1/2)[1+4r²sin²(r²)]dr²=(0，2π)∫dθ∫(0，1)(1/2){1+2r²[1-cos(2r²)]}dr²
=(0，2π)∫dθ{(1/2)[r²+r^4-r²sin(2r²)-(1/2)cos(2r²)]}(0，1)
=π[(5/2)-sin2-(1/2)cos2]=[π(5-2sin2-cos2)]/2
注：其中∫[2r²cos(2r²)]d(r²)=∫r²d[sin(2r²)=r²sin(2r²)-(1/2)∫sin(2r²)d(2r²)=r²sin(2r²)+(1/2)cos(2r²)

追问

嗯，思路和我一样的，但兄弟你第三步，双积分里面是不是应该用根号下然后里面是第二步得到的东西？而不是直接用吧我记得，麻烦你再给我讲讲，放心这最佳就是你的了！

追答

“双积分里面是不是应该用根号下”，我不明白是什么意思？自始至终里面没有用到根号呀！
第三步是把第二步的rdr变成了dr²，因此在被积函数前面添了一个(1/2)以保持左右相等，如下：
[1+4r²sin²(r²)]rdr=(1/2)[1+4r²sin²(r²)]dr²