Question

数学问题 急！！！！

四边形ABCD是平行四边形,其中顶点A的坐标是(0,4),过顶点C的直线y=k(x-4)交y轴于点E。当点E为AO中点时，△ABO和△CEO的面积相等。

（1）求AB的长；
（2）求过点B、C、D的抛物线的函数关系式；
（3）若点P为（2）中的抛物线的对称轴上的动点，请你探索△ABP的周长有没有最小值？若有，求出此时点P的坐标；若没有，说明理由。

请排版整洁，谢谢

Answer 1

（1）因为E是AO中点，
所以E（0,2）
且E在直线y=k(x-4)上，
所以2=k(0-4),k= -1/2
直线CE为：y= -1/2(x-4)
则求出C坐标为（4,0）
又因为△ABO和△CEO的面积相等
且AO=CO=4，角AOB=角COE，
所以BO=OE=2，则B（-2,0）
所以AB长为2√5.
（2）以求得B（-2,0），C（4,0），又因为四边形ABCD是平行四边形，所以D（6,4）
设抛物线为：y=ax²+bx+c,将三点代入，求解a=1/4,b= -1/2,c= -2
抛物线方程为y=1/4x²-1/2x-2
(3)对称轴为x=1,设P（1，a）
因为在△ABP中，AB为定值，因此当AP+PB最小时，△ABP有最小值。
作A点关于对称轴x=1的对称点A’ ，A’点坐标为（2,4），
连接A’，B交x=1于P，根据对称关系得出AP=A’P，
又因为两点之间直线最短，所以(AP+BP)min=(A’P+BP)min=A’B，
因为A’（2,4），B（-2,0），所以直线A’P为：y=x+2，
直线A’P与x=1的交点为（1，3）
即P坐标为（1,3）时，△ABP周长有最小值。

Answer 2

晕