Question

x^2+(y-2)^2=1绕x轴,求旋转体的体积

Answer 1

简单方法是用古鲁金第二定理,即形心绕旋转轴的周长乘以图形的面积,这是一个救生圈形状,截面是一个圆,面积是π*1^2=π,形心即为圆心,其轨迹是大圆,圆心至X轴距离为2,故周长为2π*2=4π,
∴V=4π*π=4π^2.
若用定积分法,可以把圆用Y轴分成两部分,求出半圆绕X轴的体积再乘以2即可,
从圆心作X轴平行线,即y=2,设中间圆柱体积为V,则半旋转体体积为上1/4圆所绕体积-圆柱体积+圆柱体积-下1/4圆所绕体积,V正负抵销,
上半圆：y=2+√（1-x^2),
下半圆：y=2-√（1-x^2),
∴V=2π∫[0,1]{ [2+√（1-x^2)]^2-[2-√（1-x^2)]^2}dx
=2π∫[0,1]{[2+√（1-x^2)+2-√（1-x^2）][2+√（1-x^2)-2+√（1-x^2）]dx
=2π∫[0,1]4*2√（1-x^2)dx
=16π∫[0,1]√（1-x^2)dx,
设x=sint,dx=cost,
V=16π∫[0,π/2](cost)^2dt
=16π∫ [0,π/2](1/2)（1+cos2t)dt
=16π*（t/2)[0,π/2]+16π*（1/4）sin2t[0,π/2]
=16π*π/4+0
=4π^2.