Question

线性代数【矩阵】理解 ——通过几何意义通俗的理解

Answer 1

以二维形式为例来说明其几何意义:

我们很快就能看出初等变换的几何含义了

交换矩阵的两行（列）：改变向量在矩阵中的排列顺序，当矩阵表示图形时，此操作对图形没有影响，因而矩阵张成的空间维数（秩）不变，但是当矩阵代表向量空间时，会改变此坐标系的手性，当计算方阵的行列式时，会改变其符号；

以一个非零数k乘矩阵的某一行（列）：即对矩阵中某一向量进行伸缩变换，整个矩阵代表的图形对应发生变化，由于k不能为0，所以矩阵张成空间的维数（秩）不变，方阵张成的平行几何体的空间积（行列式）变成原来的k倍

把矩阵的某一行（列）的k倍加于另一行（列）上：对矩阵中某一向量做线性叠加，且新向量终点总是在另一向量的平行线上，所以对任意矩阵，图形产生了剪切变形，由于剪切变形不会使向量重叠或缩为0，所以张成空间的维数也不变；对于方阵，由前面几何推导克拉默法则的过程知道，如果把某一向量加上矩阵内另一向量的k倍，由于新向量和原向量相对其余向量组成的平行体的高不变，所以方阵对应的平行几何体的空间积不变（行列式不变），

例如在matlab中用矩阵

结合上面对初等变换的几何解释，正是因为三种初等变换都不改变矩阵向量空间的维数，所以对于复杂的难以观察维数的矩阵，我们可以先用初等变换作用于矩阵进行简化，然后到容易观察的形式时求出它的秩；

以上图棱锥为例，因为HI处于GH和GI所形成的面里，所以HI必然可以由这两个向量表示，所以三者线性相关（三者形成的空间维数为2<3）；而HI在IG和IF形成的平面之外，所以H点无论如何都不能被GI和IF定位到，同时IF也不在IG和HI形成的平面里，IG不在IH和IF形成的平面里，同理可知它们之间不能线性表示，所以三者线性无关（三者形成的空间维数为3=向量个数）

由前面叙述容易看出此方程表示向量x与A的每一个行向量都垂直，或者说向量x垂直于矩阵A的行向量空间。这样我们可以直接根据几何意义得到结论：Ax=0有非零解的充要条件是矩阵A的秩要小于x的维数n；这是因为对于确定维度的向量空间M，如果我们可以找出独立于它的一维或多维空间N，则在空间N里的向量总是垂直于空间M；例如在直角坐标系O-xyz中，设A是x-y平面上的向量空间，x是空间向量，因为z维上的向量总是垂直于A，所以x在这一方向上存在无数非零解。反之若矩阵A的秩等于n，且x非零，则由于x也在n维空间内，所以它和A中的行向量必然线性相关，无法独立于A的行向量空间，所以这时仅有零解。

当方程有非零解时，设A的向量空间维数为R（秩），由上叙述可知解向量x中存在n-R个分量取值自由，如果我们把这n-R个自由变量看作是一个n-R维空间中的向量坐标时，显然此空间中每一个向量都能确定原方程组的一个解，又因为每一个向量都可以用这个n-R维空间的一组单位正交基线性表示，所以这组单位正交向量所确定的一组解通过线性组合就可以表示出原方程的任意解，故这组解就是原方程的一个基础解系，上述叙述也正是基础解系的几何意义

设A是m*n矩阵，x是n维向量，由前述几何意义知道，如果b处于A的向量空间中（b和A的向量线性相关），则一定可以由A的向量线性表示，也即解存在，而b落在A的向量空间等价于b的维数小于等于向量空间A的维数，也可表述为R(A)=R(A b)=R，即A的秩等于增广矩阵的秩，这种表达也是许多教科书中常用的。当R=n时，n维向量x的每个分量都是线性表示的确定系数，故只有唯一解，而R<n时，向量空间有n-R个维度不存在，故这些维度上对应的系数可任意（自由变量），这时存在无穷多解