分段函数
摘 要: 本文概括了分段函数常见问题的解决方法。
关键词: 分段函数 常见问题 解决方法
分段函数是指在函数定义域中对于自变量的不同的取值范围有不同的对应法则的函数。变量之间的关系要用两个或两个以上的式子表示。这种函数在日常生活、医学问题等方面中广泛存在。如居民水费,电费,企业税收金,医学中某些药品用量规定等采取分档处理,用数学式子表达就是分段函数。由于“分段”特点,解决分段函数的问题必须采取严谨的特殊方法,既要涉及初等函数公式、定理,又要综合运用高等数学的概念、公式、定理,是高等数学学习的难点。本文概括了分段函数常见问题的解决方法。
一、分段函数的确定
首先要准确确定分段点并划分自变量的取值区间,然后根据不同的区间正确确定函数关系式。对于分段函数通过+、-或复合的新分段函数,关键是确定新分段点,重新划分区间,还要注意只有在各分段函数的定义域有公共区间才能进行复合。
例1:将函数f(x)=2-|x-2|表示成分段函数。
(A)f(x)=4-x(x≥0)x(x<0) (B)f(x)=4-x(x≥2)x(x<2)
(C)f(x)=4-x(x≥0)4+x(x<0)(D)f(x)=4-x(x≥2)4+x(x<2)
分析:∵f(x)=|x-2|=x-2(x≥2)2-x(x<2),∴选(B)。
例2:设f(x)= 1 (x>0)-1(x≤0),g(x)=x+1,f[g(x)]=。
分析:定义域为R,又∵g(x)=x+1>0,∴f[g(x)]=1。
例3:设f(x)= 0(x≤0)x(x>0),求F(x)=f(x)-f(x-1)。
分析:∵f(x-1)=0(x≤1)(x-1)(x>1),分段点有两个x=0,x=1,
∴F(x)= 0(x≤0)x(01)。
例4:设f(x)=1(0≤x≤1)2(1 (A)无意义 (B)在[0,2]有意义
(C)在[0,4]有意义(D)在[2,4]无意义
分析:∵f(x)定义域为[0,2],则2x∈[0,2],得x∈[0,1];又x-2∈[0,2],得x∈[2,4],∴选(A)。
二、分段函数定义域
分段函数的定义域各个部分自变量取值的并集。
例1:设f(x)=(|x|≤1)x-1(1<|x|≤2),其定义域是()。
分析:定义域为{x||x|≤1}∪{x|1<|x|<2}=(-2,2)。
例2:设f(x)=x-1(x<0)2 (0 分析:定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪[1,3)=(-∞,0)∪(0,3)。
三、分段函数的函数值
根据x的所在区间,正确选取相应的表达式,代入求计算即得。
例1:设f(x)=1-x(-3≤x<0)(0≤x≤3),求f(a)。
分析:∵a≥0,∴f(a)==|a|=-a(-≤a<0) a (0≤a≤)。
例2:设f(x)=2x (x≤2)x-4x-3(x>2),求f[f(1.5)]。
分析:∵1.5<2,∴f(1.5)=3;
又∵3>2,∴f[f(1.5)]=9-12+3=0。
例3:设f(x)=6(x<2)3(2≤x<3)2(x≥3),且a>0,求。
分析:∵a>0,∴f(2-a)=6,f(2+a)=3或2,
∴=或。
四、分段函数的反函数
首先判断函数的定义域与值域是否一一对应(或函数是否有单调性),确定反函数是否存在。若存在只要分别求出各区间段相应函数的`反函数并确定相应自变量的取值范围。
例1:设f(x)=(-∞ 分析:作图可知函数的定义域与值域一一对应,反函数存在,分别求出各区间的反函数为f(x)=2x (-∞ 例2:设f(x)= e(x≥0)x+1(x<0),求反函数f(x)。
分析:f(x)是单调递增函数,反函数存在,为f(x)=lnx(x≥1)x-1(x<1)。
五、分段函数的奇偶性
首先判断定义域是否关于原点对称,是的话,分别用-x代替解析式中的x并解出结果。注意自变量的取值范围相应改变,也可以通过作图判定。
例1:判断f(x)=x-1(x<0)0(x=0)x+1(x>0)的奇偶性。
方法一:作图可知图像关于原点对称,是奇函数。
方法二:
分析:定义域(-∞,+∞)关于原点对称。
f(-x)=-x-1(-x<0) 0 (x=0)-x+1(-x>0)=-(x+1)(x>0)0(x=0)-(x-1)(x<0)
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数。
例2:判断f(x)=x+2(-2≤x≤-1)1(-1 方法一:作图可知图像关于y轴对称,是偶函数。
方法二:分析:定义域[-2,2]关于原点对称。
f(-x)=-x+2(-2≤-x≤-1) 1 (-1<-x<1)2+x(1≤-x≤2)=-x+2(1≤x≤2) 1 (-1 ∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数。
六、分段点的极限
对于非分段点或两侧表达式相同的分段点可用初等函数的求极限方法。而对于两侧表达式不同的分段点的极限要分别求出左右极限。根据定理f(x)=f(x)=A?圳f(x)=A判断函数在该点的极限是否存在。
例1:已知f(x)=x(x≠2)1 (x=2),求f(x)。
(A)2 (B)1 (C)4 (D)∞
分析:∵x=2是分段点但两侧表达式相同,由上述定理可得:
∴f(x)=f(x)=x=4。
例2:f(x)== 1 (x>1)-1(x<1),求f(x)。
分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。
∵f(x)=1,f(x)=-1,∴f(x)不存在。
例3:f(x)=3x (x<1) 2(x=1)3x(x>1),求f(x)。
分析:∵f(x)=3,f(x)=3,∴f(x)=3。
七、分段函数的连续性
由于一切初等函数在它的定义域内是连续的,因此分段函数的连续性关键是判断分段点的连续性。
例1:判断f(x)=(x>0)e(x≤0)在x=0处是否连续。
分析:∵f(x)=1,f(x)=1,又f(0)=1,∴f(x)在x=0处连续。
例2:f(x)= (x<0)3x-2x+k(x≥0)在x=0处连续,求k。
分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。
分析:∵f(x)=2,f(x)=k,∴k=2。
例3:函数f(x)=(x>0)a(x=0)xsin+b(x<0)在其定义域内是连续的,求a、b的值。
分析:由题意可知,f(x)在x=1处连续。
∵f(x)=,f(x)=b,又f(0)=a,∴a=b=。
八、分段函数的导数
非分段点可利用公式求出导数再代入即可。对于分段点且两侧表达式相同的可根据定义。对于分段点用两侧表达式不同的,必须求出左导和右导。
例1:f(x)=(x≠0)0 (x=0),求f′()、f′(0)。
分析:∵f′(x)=,∴f′=-,f′(0)===1。
例2:f(x)=ln(1+x)(x>0) x(x≤0),求f′(0)。
分析:∵f′(x)===1,f′(0)==1,∴f′(0)=1。
例3:f(x)=e(x<0)e (x≥0),求f′(x)。
分析:∵f′(0)===1,
f′(0)==-1,
∴f(x)在x=0处不可导,∴f′(x)=-e(x<0)e(x>0)。
九、分段函数的不积分
分别求出各区间段相应函数的不定积分,再由连续性确定常数。
例1:f(x)= x (x<0)-sinx(x≥0),求f(x)dx。
分析:f(x)dx= +c (x<0)cosx+c(x≥0)
∵f(x)在x=0处连续,∴c=1+c,
∴f(x)dx=+1+c(x<0) cosx+c (x≥0),其中c为任意常数。
例2:f′(x)=1 (x≤0)e(x>0),且在x=0处连续,f(0)=0,求f(x)。
分析:f(x)=f′(x)dx=x+c (x≤0)e+c(x>0)
∵f(x)在x=0处连续,且f(0)=0,c=0,c=-1。
∴f(x)=x (x≤0)e-1(x>0)。
十、分段函数的定积分
利用定积分的可加性,分成多个定积分。注意要根据分段区间选取相应被积函数。
例1:f(x)=1(-1≤x<0)2(0≤x≤1),求f(x)dx。
分析:f(x)dxdx=dx+2dx=。
例2:求|1-x|dx。
分析:|1-x|dx=(1-x)dx+(x-1)dx=1。
例3:f(x)= 0 (x<0)(0≤x≤1) 0 (x>1),kf(x)dx=1,求k的值。
分析:∵kf(x)dxkf(x)dx+kf(x)dx+kf(x)dx=kdx=1,∴k=。
十一、结语
在讨论分段函数的有关问题中,分段点是个特殊点,一般要分段处理。特别是求分段点极限、导数,以及判断连续性,都要“左看右看”,谨慎处理。
参考文献:
[1]刘书田等编.高等数学.北京理工大学出版.
