Question

帮我解一道数学题！谢谢。很急！

求常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫(b到x) ln(1+t^2)dt] =c(≠0).

我需要此题详细解答过程。谢谢！

Answer 1

a=1,b=0,c=1/2
当x趋于0，原式分子趋于0是无穷小，然而原式的极限为常数，因此分子分母为同阶无穷小，所以分母也是无穷小，因此lim(x趋于0)∫(b到x) ln(1+t^2)dt=0，定积分当上限与下限相等时，此定积分的值为0，因为x趋于0，所以b=0。
对原式应用洛必达法则：
原式=lim(x趋于0) (a-cosx)/ ln(1+x^2)] =c （1）式
此时分母趋向于0，仍为无穷小量，因此分子也是无穷小量，则lim(x趋于0) (a-cosx)=0,a=1
将a=1代入（1）式，再对（1）式分子分母同时使用等价无穷小替换，则
（1）式=lim(x趋于0) [(1/2)x^2]/ x^2=1/2，因此c=1/2

Answer 2

a=1,b=0,c=1/2
当x趋于0，原式分子趋于0是无穷小，然而原式的极限为常数，因此分子分母为同阶无穷小，所以分母也是无穷小，因此lim(x趋于0)∫(b到x) ln(1+t^2)dt=0，定积分当上限与下限相等时，此定积分的值为0，因为x趋于0，所以b=0。
对原式应用洛必达法则：
原式=lim(x趋于0) (a-cosx)/ ln(1+x^2)] =c （1）式
此时分母趋向于0，仍为无穷小量，因此分子也是无穷小量，则lim(x趋于0) (a-cosx)=0,a=1
将a=1代入（1）式，再对（1）式分子分母同时使用等价无穷小替换，则
（1）式=lim(x趋于0) [(1/2)x^2]/ x^2=1/2，因此c=1/2 Thank you!

Answer 3

因为当x->0时，极限为常数
且ax-sinx在x->0时，为零
则分母也在x->0时值为零
即
∫(b->0) ln(1+t^2)dt=0
可知b=0
用洛必达法则上下求导得
原式=lim(x->0)(a-cosx)/[ln(1+x^2)]
依然同理，分子分母在x->0时，值同时为0
得a=1
再用洛必达得
lim(x->0)(1+x^2)/2
=1/2=c

Answer 4

♂难