Question

f(x)=∫{0,1} t|x^2−t^2 |dt，求导数f'(x)并求f(x)最小值

Answer 1

因为积分号下被积函数有绝对号，所以需要分段讨论。
因为0≦t≦1,故当|x|≧1时, f(x)=∫{0,1} t(x^2−t^2 )dt=x^2/2-1/4;
当|x|<1时,f(x)=∫{0,|x|} t(x^2−t^2 )dt+∫{|x|,1} t(t^2−x^2 )dt=1/4+x^4/2-x^2/2.
f(1)=f(-1)=1/4，且在x=1、x=-1处连续，当|x|不等于1时，为初等函数连续可导，当x=1、x=-1时利用导数定义求左右导数，可得f'(1)=1，f'(-1)=-1；从而f'(x)分段表示为x|≧1时，f'(x)=x，当|x|<1时,f'(x)=2x^3-x，可知f'(x)在定义域内也连续。
当x=0时f'(0)=0,为函数唯一驻点，f(0)=1/4为极小值，又f(1)=f(-1)=1/4，故1/4是f(x)的最小值。