Question

幂级数的和函数在收敛域上为什么连续

和函数是幂函数经过了无限次（n->无穷）的加法运算，不是初等函数了，难道还连续吗？？（有点钻牛角尖，嘿嘿）

Answer 1

从问题面上看，你是一个非数学专业的学生，从数学角度上讲，要想证明一个级数的和函数在其收敛域中连续，必须证明这个级数是一致收敛的，而幂级数就是一致收敛的，所以它的和函数也连续，如果你感觉有问题，可以查阅一下华东师大的《数学分析》，希望对你有所帮助！

Answer 2

因为在收敛域上，这些冥级数的和会表示成一个初等函数（也可能是非初等函数）。比如e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+....

追问

谢谢！但是“幂级数的和函数在其收敛域上连续 ”，这是幂级数的和函数性质之一，如果它为非初等函数那么就可能不连续，这条性质就可能不成立啦！？还有
请教一下，您举的例子，等式左边是怎样等于等式右边的啊？可不可以把过程截图给我一下啊！非常谢谢啦！！

追答

上面你不是说“和函数是幂函数经过了无限次（n->无穷）的加法运算，不是初等函数了，难道还连续吗？？”我想说的是幂函数经过了无限次（n->无穷）的加法运算，得到的仍然可能是初等函数。另外并不是所有的非初等函数都不连续吧！这个地方的连续是通过函数连续的定义来证明的。至于我说的那个例子，就是e^x在零点的泰勒展开式。函数在某一点的泰勒展开式你应该知道吧