Question

当x>1时,不等式x²-(1+a)x+1+a>0恒成立,求实数a的取值范围

高一，基本不等式。

Answer 1

由x²-(1+a)x+1+a>0得a(x-1)<x²-x+1
x>1，所以a<(x²-x+1)/(x-1)
使之恒成立，必须有a<(x²-x+1)/(x-1)的最小值。
设x-1=t，则t>0，x=t+1
(x²-x+1)/(x-1)=[(t+1)²-(t+1)+1]/t=t+1/t+1≥3
当且仅当t=1时(x²-x+1)/(x-1)取得最小值3。
故a<3。

Answer 2

不等式可以整理成：（1-x)a>x-x^2-1 因为x>1,所以a<-x^2+x-1/(1-x),即a<x-1+x/(x-1),再令k=x-1,则k>0,a<k+(k+1)/k,即a<k+1+1/k,因为k>0,所以a<3.

Answer 3

x²-(1+a)x+1+a
=[x-(a+1)/2]²+1+a-[(a+1)/2]²
1+a-[(a+1)/2]²>0
（1+a)(1-(a+1)/2)>0
(1+a)(1-a)>0
-1<a<1
不等式x²-(1+a)x+1+a>0恒成立时，-1<a<1