Question

平面几何用尺规作图有哪三大不能

Answer 1

尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题.其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：
■三等分角问题：三等分一个任意角；
■倍立方问题：作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
■化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积. 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的.直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题.而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题.

Answer 2

答：三等分角公式：sin3α/sinα=1+2cos2α=(1+2cos2α)/1-这是一个相似三角形。它本身是一条直线，有无数个解。对于圆Q，令ρ=sin3α/sinα=1+2cos2α。下面我们来做图：

(1)圆心0，半径r作⊙O，得A、B；反向延长OB，交⊙0于C；

(2)圆心C，半径r,交OB反向延长线于P;

(3)圆心P，半径r作⊙P，外切于⊙O于C；

(4)联结PA，分别交⊙P于D（关键点）

(5)-(6)作DJ∥PB，交⊙O于J；

(7)作射线AJ；

(8)作DG⊥DJ，交AJ于G（关键点）

(9)-(11)过G作QI∥AP，交DJ延长线于I（关键点），交PB于Q（关键点）；

(12)联结QA，交⊙O于K（关键点）；

(13)圆心C，半径CK画弧交⊙P于M；

(14)作MKB1∥PB，交⊙O于B1；得∠AOB=3∠AQO；

(15)圆心A，半径CK画弧，交⊙O于A1；

(16)-(17)联结OA1;联结OB1。作图完毕。后面证明（略）。

有三等分角可以推论，n等分角也可以尺规作图。这一点数学家高斯的17等边形的做图为我提供了思路的借鉴。当n为偶数和当n是奇数时分别设n=2m和n=2m-1，这样n ∈N*时，角度从1-n就到可以做了。sin(2m-1)A/sinA=1+2cos2A+......+2cos2(m-1)A .......... (i)

sin2mA/sinA=2(cosA+cos3A+......+cos(2m-1)A.......(ii) 

用数学归纳法证明推论正确。说明任意角可以n等分。我就不一一做图了，m=所用的等圆数量，n=半径数量。

备注：这两题和倍立方都是在2017年6月之前完成的。同学们可以用，但是，不可以公开发表。