Question

35、正交变化法化二次型为标准型

Answer 1

定义2：只含平方项的二次型，即形如
称为二次型的标准形（或法式）。

问题1：标准形的矩阵=？

问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵C， 为对角阵

问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。

定理2 对实二次型 ,正交变换 ,使

为f的矩阵A的特征值。

正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
（i）写出二次型的矩阵A；
（ii）求出A的所有相异的特征值 ;
（iii）对每一个重特征值 ，求出对应的 个线性无关的特征向量 ,由性质知
（iv）用施密特正交化方法将每一个重特征值 所对应的 个线性无关的特征问量 先正交化再单位化为 ,它们仍为属于 的特征问量。
（v）将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q，则Q即为所求得的正交方阵。此时 为对角阵。
（vi）作正交变换，X=QY，即可将二次型化为标准形

例用正交变换法将二次型 化为标准形，并求出所用的正交变换矩阵。
二次型的矩阵为

由

得A得特征值为

其对应的特征何量为
，因为 互异，故 两两相交，将它们单位化，
得
于是所求正交变换的矩阵为

待更