Question

绝对值不等式解法的疑问

有一个公式|f(x)|>g(x)等价于f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)，请予以严格论证

Answer 1

如果f(x)的值为正，则|f(x)|=f(x),原式=f(x)>g(x)，如果f(x)值为负，则|f(x)|=-f(x)，原式=-f(x)>g(x)，即f(x)<-g(x)

Answer 2

若f(x)≥0,则|f(x)|=f(x)>g(x)
若f(x)<0,则|f(x)|=-f(x)>g(x), 即f(x)<-g(x)

综上，|f(x)|>g(x)等价于f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)

Answer 3

f(x)>0, f(x)>g(x)
f(x)<0, -f(x)>g(x), f(x)<-g(x)

追问

f(x)>g(x)或f(x)0(或f(x)<0)}取交，这怎么能说是一样的呢？

追答

如果不考虑条件的话，那肯定不完全等价，举个反例：
f(x)=x, g(x)=-1
|x|>-1, 这怎么能等价于x>-1 or x<1呢？
因为在这里X可为任意值。

追问

可你举得这个例子对原式是成立的啊

追答

哦，一时理解错了这个“或”。两个解集是一样的。

追问

这个解释我依然觉得不严谨，逻辑推理关系有的地方不成立，请从充分性和必要性两方面予以证明

Answer 4

当g（x）<0 f(x)都成立
当g（x）>0 f(x)>0, f(x)>g(x)
f(x)<0, -f(x)>g(x), f(x)<-g(x)