Question

求文档: 2009—2010年江苏省启东中学高二下学期期中考试(数学理)

Answer 1

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09江苏省启东中学 09-10 学年高二下学期期中考试 数学( 数学(理)

命题人: 命题人:高正斌

一,填空题: 填空题: 填空题 (70 分) 1. "因为四边形 ABCD 是菱形,所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直" ,补充以上推理的大前 . 提是 2. 复数
3i 等于 1 i
. .
3.已知点 P (1,2,3) , Q (3,5, 2 ) ,它们在面 xoy 内的射影分别是 P ' , Q ' ,则 P 'Q ' =

2 3 Cn2 = Cn 1 + Cn 1 ( n ∈ N )
4.若
,则 n = .
5.若复数 z = a 2 1 + ( a + 1)i ( a ∈ R )是纯虚数,则 z =
6.已知 Z 1 , Z 2 是复平面上两个定点,点 Z 在线段 Z 1 Z 2 的垂直平分线上,根据复数的几何意 义,则点 Z , Z 1 , Z 2 所对应的复数 z , z1 , z 2 满足的关系式为 7.在 ( x + .
1 2 x

4
) 8 的展开式中有理项的项数共有
项.
8.若向量 a = (1, λ ,2), b = ( 2,1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为

2 2 2 2 2
8 ,则 λ 等于. 9

2 2
9.用数学归纳法证明 1 + 2 + + ( n 1) + n + ( n 1) + + 2 + 1 = 由 n = k 的假设到证明 n = k + 1 时,等式左边应添加的式子是 10.若 (2 x + 3 ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a 4 x ,

4 2 3 4
n(2n 2 + 1) 时, 3

.
则 (a0 + a2 + a4 ) 2 ( a1 + a3 ) 2 的值为
. .
11.6 个相同的小球放入标号为 1,2,3 的 3 个小盒中,要求每盒不空,共有放法种数为
12. 已知正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中,AA1 = 2 AB ,E 为 AA1 中点, 则异面直线 BE 与 CD1 所形成角的余弦值为 .
13.下图的数表满足:①第 n 行首尾两数均为 n;②表中的递推关系类似杨辉三角. 则第 n 行 (n ≥ 2) 第 2 个数是. 14. 若
a0 , a1 , a2 , an
成等差数列,则有等式
0 1 2 Cn a0 Cn a1 + Cn a2 + + ( 1) n Cnn an = 0 成
立,类比上述性质,相应地:若
b0 , b1 , b2 , bn
成等比数列,则有等式__
_成立.
1 2 3 4 5 6 16 11 25 7 14 25 4 7 11 16 2 3 4 5 6
( 13 题图) 二,解答题 本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 解答题:(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 15. (14 分)已知 a,b 都是正数,求证: a + b ≥ a b + a b .

5 5 2 3 3 2
16. (14 分)某校学生会有高一年级 6 人,高二年级 5 人,高三年级 4 人组成, (1)选其中一人为校学生会主席,则不同的选有多少种; (2)从 3 个年级中各选一个人出席一个会议,不同的选法有多少种; (3)选不同年级的两人参加市里组织的活动,则不同的选法为多少种 17. (14 分)已知数列 {a n } 满足 a1 = 1 , 4a n +1 a n a n +1 + 2a n = 9( n ∈ N )
(1)求 a 2 , a3 , a 4 . (2)由(1)猜想 {a n } 的通项公式. (3)用数学归纳法证明(2)的 结果.

(x + 1 2 x )n
18. (16 分)已知
的展开式中前三项的系数成等差数列.
(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求展开式中系数最大的项. 19. (16 分)求同时满足下列条件的所有的复数 z, ①z+
10 10 ∈R, 且 1<z+ ≤6;②z 的实部和虚部都是整数. z z
20. (16 分)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍, P 为侧棱 SD 上的点. (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE‖平 面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由.
参考答案
1.菱形的对角线互相垂直. 2. 2 + i 3.5 4.5 5.2 6. z z1 = z z 2 7.3 8.
2 ,2 55
9. ( k + 1) 2 + k 2 10.1 11.10 12.
3 10 10
13.
n2 n + 2 , 2

0 1 2 n n Cn
b Cn b1 Cn b2Cn bn ( 1) 14. 0

15 略 16. (1)15 种. 17. (1) a 2 = (2) a n =
=1
(2)120 种.
(3)74 种.
7 13 19 , a3 = , a4 = , 3 5 7 6n 5 2n 1

C0 + n 1 1 2 × Cn = 2 × × C1 n 4 2 , ………………………………………………3
18. (Ⅰ) 解: 由题设, 得 分
2 即 n 9n + 8 = 0 ,解得 n=8,n=1(舍去) .……………………………………………4 分
1 r +1 1 r 2r C8 ≥ 2r +1 C8 , 1 Cr ≥ 1 Cr 1 . 8 8 r 2r 1 (Ⅱ) 设第 r+1 的系数最大, 2 则 ……………………………………………6 分
1 1 8 r ≥ 2(r + 1) , 1 ≥ 1 . 解得 r=2 或 r=3. ………………………………………………8 分 即 2r 9 1

5 2 所以系数最大的项为 T3 = 7 x , T4 = 7 x .………………………………………………10 分

9
19.设 z=x+yi, (x, y∈R), 则 z+

∵z+
10 10 10 =x(1+ 2 )+y(1- 2 )i . 2 z x +y x + y2
10 10 ∈R, ∴y(1- 2 )=0. ∴y=0, 或 x2+y2=10. z x + y2 10 10 又 1<z+ ≤6, ∴1< x(1+ 2 )≤6. ① 4分 z x + y2 10 10 10 1)当 y=0 时, ①可以化为 1<x+ ≤6, 当 x<0 时, x+ <0, 当 x>0 时, x+ ≥2 10 >6. 故 x x x

y=0 时, ①无解. 7分 2)当 x2+y2=10 时, ①可化为 1<2x≤6, 即
1 <x≤3. 2
∵x, y∈Z, 故可得 z=1+3i ,或 1-3i ,或 3+i ,或 3-i ......10 分 ....
20.解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ⊥ AC .在正方形 ABCD 中, AC ⊥ BD ,

所以 AC ⊥ 平面SBD ,得 AC ⊥ SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD = 又 OD =
2a .
2 a ,所以 ∠SOD = 600 , 2
连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ⊥ 平面SBD ,所以 AC ⊥ OP , 且 AC ⊥ OD ,所以 ∠POD 是二面角 P AC D 的平面角. 由 SD ⊥ 平面PAC ,知 SD ⊥ OP ,所以 ∠POD = 30 ,

0
即二面角 P AC D 的大小为 30 .

0
(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD =
2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN = PD ,过 N 作 PC 的平行线 4
与 SC 的 交 点 即 为 E . 连 BN . 在 △ BDN 中 知 BN // PO , 又 由 于 NE // PC , 故 平 面
BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP = 2: SE:EC = 2: 1 ,故 1.

解法二: (Ⅰ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ⊥ 平面ABCD .以 O 为坐标原 点, OB, , 分别为 x 轴, y 轴, z 轴正方向,建立坐标系 O xyz 如图. OC OS 设底面边长为 a ,则高 SO =
6 a. 2
于是
S (0, 0,
6 2 a ), D( a, 0, 0) 2 2
C (0,
2 a, 0) 2 2 a, 0) 2 2 6 a, 0, a) 2 2
OC = (0,
SD = (
OC SD = 0

故 从而
OC ⊥ SD AC ⊥ SD

(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS = (
2 6 a, 0, a ) ,平面 DAC 的一 2 2
个法向量 OS =)0, 0,
6 OS DS 3 a ) ,设所求二面角为 θ ,则 cos θ = = ,所求二面角的大 2 2 OS DS
小为 30
0
(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量,
且
DS = (

CE = tCS ,
2 6 2 6 a, 0, a ), CS = (0, a, a) 2 2 2 2
设
则
BE = BC + CE = BC + tCS = (

BE DC = 0 t = 1 3
2 2 6 a, a (1 t ), at ) 2 2 2
而
即当 SE : EC = 2 :1 时, BE ⊥ DS 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC