Question

已知函数F(x)=√3sin2x-2sin^2x.若x∈[-π/6,π/3]求f(x)的最大值和最小值

化简了得2sin(2x+π/6)-1
就是那个应该怎么求最大值和最小值啊
解释详细点

Answer 1

说明，化解，F(x)=2sin(2x+π/6)-1，是正确的，我只对最后的结果，怎么来的说明：
F(x)=2sin(2x+π/6)-1
因为，已知x∈[-π/6, π/3]，所以，-π/3≤2x≤2π/3，-π/6≤2x+π/6≤5π/6，
y=sinx，在x∈[-π/6, 5π/6]上，-1/2≤y≤1，即此题中，-1/2≤sin(2x+π/6)≤1,
所以，(-1/2 )* 2 -1≤F(x)=2sin(2x+π/6)-1≤1*2-1
即，-2≤F(x)≤1

PS：关于F(x)=Asin(ωx+Φ)+B在一定的区间上值域的求法，
（1）首先是求出其自变量ωx+Φ的范围，即此题中(2x+π/6)∈[-π/6, 5π/6]
（2）求出sin(ωx+Φ)在该范围内的值域，即此题中sin(2x+π/6)在区间[-π/6, 5π/6]上值域
若不习惯ωx+Φ的变量形式，可以令t=2x+π/6，sin(2x+π/6)=sint,
(2x+π/6)∈[-π/6, 5π/6]，所以，即相当于求标准正弦函数，y=sint，t∈[-π/6, 5π/6]
y的取值范围，画出该函数的图像，即显然可得，y=sint，在t∈[-π/6, 5π/6]上，
-1/2≤y≤1
（3）求出，Asin(ωx+Φ)的范围，注意A为负数，不等式方向要改变
（4）求出，Asin(ωx+Φ)+B的范围，相当于不等式两边同时加了“B”
望能帮助读者释疑！！！

Answer 2

化简为2sin(2x+π/6)
x∈[-π/6,π/3]
2x+π/6∈[-π/6,5π/6]
画图可知当2x+π/6=π/2时sin(2x+π/6)最大 为1 f(x)=2sin(2x+π/6)=2
当2x+π/6=-π/6时 sin(2x+π/6)最小为-1/2 f(x)=2sin(2x+π/6)=-1

Answer 3

x∈[-π/6,π/3]，
所以2x+π/6∈[-π/6,5π/6].
所以sin(2x+π/6)∈[-1/2,1].
所以最大值是1，最小值是-1/2

追问

我也求是-1/2不过被老师否定了

追答

我想一下。

Answer 4

你把那个正弦图画出来，然后看看哪些值最大最小，还有你这题目好像有点不对，怎么会化简出-1来呢

追问

就是-1啊

追答

那你可以化简一下我看看可以吗

追问

F(x)=√3sin2x-2sin^2x
=√3sin2x-(1-cos2x)
=√3sin2x-1+cos2x
=2(cosπ/6sin2x+sinπ/6cos2x)-1
=2sin(2x+π/6)-1
就这样啊 很详细吧

追答

不错，懂了，，

在你所求的答案中， 你的-1哪去了
2sin(2x+π/6)-1
x=-π/6时，2sin(2x+π/6)-1
=2x（-1/2)-1=-2