Question

中考数学，高分求助各位高手帮忙，谢谢！

抛物线y=x^2-2x-3与x,y轴交于A(x1,0),B(x2,0)及C点,x1<x2，顶点为M
(1)若MN//BC,试判定直线MN与△ABC外接圆的位置关系。
(2)抛物线上是否存在P点，使PA与△ABC外接圆相切？
(3)抛物线上是否存在点P，使C点在以BP为直径的圆的圆内？若存在，求P点横坐标的取值范围？

Answer 1

1。由已知A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)，M（1，-4）
可求BC解析式：y=x-3，它的中垂线角解析式：y=-x，抛物线对称轴：x=1，
y=-x与x=1交点Q(1，-1)即为三角形ABC外接圆的圆心，半径=QB=√5
所以，圆Q上的点(x，y)到点Q距离都等于√5，满足关系式：(x-1)^2+(y+1)^2=5
可求MN解析式：y=x-5
解由y=x-5，(x-1)^2+(y+1)^2=5组成的方程组有两个不同的解，所以MN与圆有两个交点，即MN与圆相交。
2。设PA解析式y=kx+b，将A(-1，0)代入得k=b，所以PA：y=kx+k
因PA与圆相切，所以PA与圆有唯一公共点，即
由y=kx+k，(x-1)^2+(y+1)^2=5组成的方程组有两个相同的解
将y=kx+k代入(x-1)^2+(y+1)^2=5后，其判别式=0，解得k=2
所以 PA：y=2x+2，代入抛物线y=x^2-2x-3求得两解：x=-1，y=0和x=5，y=12
所以抛物线上存在点P(5，12)使PA与△ABC外接圆相切。
3。假设存在P坐标是(x，x^2-2x-3)，则以BP为直径的圆的圆心是R((3+x)/2，(x^2-2x-3)/2)
要使C点在以BP为直径的圆的圆内，则RC<1/2BP
有[(3+x)/2]^2+[-3-(x^2-2x-3)/2]^2<1/4[(x-3)^2+(x^2-2x-3)^2]，0<x<1
所以抛物线上存在点P，使C点在以BP为直径的圆的圆内，P点横坐标的取值范围是0<x<1。

另解
1.C点关于x=1的对称点S在圆上,且也在MN上,所以S关于y=-x的对称点也在圆上,且也在MN上,所以MN与圆相交(y=-x,x=1都是圆的对称轴)
2.QA与PA垂直，QA的k=-1/2，所以PA的k=2,求出PA：y=2x+2，再求P点
3。PB所对的圆周角是90度，点C在圆内，所以角PCB>90度，只要让角PCB>90度的即为所求P
当角PCB=90度时，P与M重合，所以点P在抛物线上点C到M这一段，即0<x<1

Answer 2

好题目