Question

已知函数f(x)=2^x-1,对于满足0<x1<x2,的任意x1,x2

为什么说[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2],表示的是下凹性?
麻烦高手详细解释下怎么判断是下凹性; 还有我对函数凹凸性不是很理解.谢谢了

Answer 1

这是函数在定义域内凹凸性的定义
指定任意两点连线的弦的中点为比较点，任意两点函数中间值小于比较点则是凹，反之则为凸

定理：设f（x）在[a，b]上连续在[a，b]内具有一阶和二阶导数，
（i）若在[a，b]内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的。
（ii）若在（a，b）内，f″（x）>0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的。

Answer 2

凹凸性指的是曲线的形状，像y=x^2凹下去的就是凹函数；y=-x^2凸上来的就是凸函数。
一条直线两端点的值之和的一半一定等于中点的值，[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，说明这条曲线的中点值在两端点连线的直线下面，所以是凹函数