Question

a,b,c为正数,b/(a+c)=a/(b+c)+c/(a+b),求b/(a+c)的最小值

Answer 1

令b/(a+c)=t，那么b=ta+tc，代入原等式得
t=a/[ta+(t+1)c]+c/[(t+1)a+tc]=a²/[ta²+(t+1)ac]+c²/[(t+1)ac+tc²]
而由柯西不等式
{a²/[ta²+(t+1)ac]+c²/[(t+1)ac+tc²]}{[ta²+(t+1)ac]+[(t+1)ac+tc²]}≥(a+c)²
所以a²/[ta²+(t+1)ac]+c²/[(t+1)ac+tc²]≥(a+c)²/{[ta²+(t+1)ac]+[(t+1)ac+tc²]}
又(a+c)²/{[ta²+(t+1)ac]+[(t+1)ac+tc²]}=(a+c)²/[(a²+c²+2ac)t+2ac]=1/[t+2ac/(a+c)²]
而(a+c)²≥4ac，所以2ac/(a+c)²≤1/2
于是(a+c)²/{[ta²+(t+1)ac]+[(t+1)ac+tc²]}≥1/(t+1/2)
即t=a²/[ta²+(t+1)ac]+c²/[(t+1)ac+tc²]≥(a+c)²/{[ta²+(t+1)ac]+[(t+1)ac+tc²]}≥1/(t+1/2)
得2t²+t-2≥0，解得t≥(√17-1)/4或t≤(-√17-1)/4(舍去)
所以t=b/(a+c)≥(√17-1)/4
又当a=c=1，b=(√17-1)/2时满足条件，此时b/(a+c)=(√17-1)/4
故b/(a+c)的最小值为(√17-1)/4