Question

一道高中数学题，求诸位帮个忙！！

在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是？

Answer 1

设直角三角形的两条直角边分别为a,b则，
其面积为S=0.5*a*b,周长为l=a+b+(a^2+b^2)^0.5
故，S=l,推出0.25*a*b-a-b+2=0,
这是个约束极值问题，在高等数学中可以用拉格朗日乘数法来解。在初等数学中，办法也很多，其一如下：

解出b=(a-2)/(0.25*a-1),从而S=0.5*a*b=2[( b-4)+8/(b-4)+6],由基本不等式得：

S>=2*(4*2^0.5+6),

经验证,当b=4+2*2^0.5,等式成立且条件满足;当b=4-2*2^0.5时，l/=s,是增根。

Answer 2

6.828