Question

高等数学，函数极限的证明，跪求，急急急急急急急急

我用的书本是同济大学数学系主编高等教育出版社出版的同济六版，函数极限感觉很难，求高手帮助啊，问题是这样的，这是一个证明题目，题目是这样的：根据函数极限的定义证明：函数F(X)当XXO时极限存在的充分必要条件是左右极限存在并且各自相等，辅导书本的证明过程如下（因为有些特殊字符无法打出，所以很无奈用汉字代替啊，见谅）：《1》充分性的证明，：假设LIMF(X)=A，∴对∨ε（就是任取的意思）>0,存在δo>0,当0<|X-XO|<δo时，|F(X)-A|<ε,同理，存在δ1=δ0，当XO<X<XO+δ1,|F(X)-A|<ε,这样就证明了右极限，同理可以证明左极限。这个证明，我的疑问是，为什么要“存在δ1=δ0”这句话啊， 为什么要取他们相等啊，请高手详细指点啊
《2》必要性的证明，假设左右极限存在并且相等，设LIMF(X)左极限等于LIMF(x)右极限，对任意ε>0，存在δ1>0，当X0<X<XO+δ1时，|F(X)-A|<ε；，对上述ε>0，存在δ2>0,当XO-δ2<X<XO时，|F(X)-A|<ε，∴对上述ε>0，存在δ=min{δ1,δ2},当0<|X-XO|<δ时，|F(X)-A|<ε，这样就证明了必要性。关于必要性的证明，我的疑问是，“上述ε>0”为什么不可以说成对任意的ε>0，还有就是“δ=min{δ1,δ2}”，是取他们两者的最小者，其实就是XO的δ邻域，它是肯定小于δ1,δ2，是不是只要它小于δ1,δ2，那么δ1,δ2满足的极限，它就满足啊，求高手指点啊，我用画图软件把δ1,δ2，δ的关系也表示了出来，大家分析一下，希望能够让我明白啊，万分感激啊，我同时也把函数极限的定义照着课本抄了下来，希望高手给我结合定义分析啊，万分感激，如果回答的好的话，我会加到150分，谢谢啊，函数极限的定义是：设函数F(X)在点X0的某一去心邻域有定义，如果存在常数A，对于任意给定的整数ε（无论它多么小），总存在整数δ，使得当当XO<X<XO+δ1,|F(X)-A|<ε，那么A就是这个函数的极限。请高手结合极限的定义帮助我分析一些啊啊，如果，回答的非常好，我会追加150分，谢谢啊，万分的感激

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Answer 1

(1)因为由前面的说明，,当0<|X-XO|<δo时，|F(X)-A|<ε,所以有0<X-XO<δo时，|F(X)-A|<ε。
在证明右极限的时候需要取个δ1，由上面可以看到只要δ1<=δo,就会有0<X-XO<δ1时，|F(X)-A|<ε，所以不妨取δ1=δ0，当然也可以取δ1=δ0/2等等
(2)“上述ε>0”主要是为了使左极限和右极限是针对同一个ε而言的，因为最后要把两部分合起来。具体说就是,
已经说明了
当X0<X<XO+δ1时，|F(X)-A|<ε
当XO-δ2<X<XO时，|F(X)-A|<ε，
在取δ=min{δ1,δ2}之后，上面的式子可以进一步写成
当X0<X<XO+δ时，|F(X)-A|<ε
当XO-δ<X<XO时，|F(X)-A|<ε
把上面两部分合起来，
所以当XO-δ<X<XO或X0<X<XO+δ，即当0<|X-XO|<δ时，|F(X)-A|<ε。
正是因为上面是同一个ε，所以才可以合起来的。这就是为什么说“上述ε>0”。

是不是只要δ小于δ1,δ2，那么δ1,δ2满足的极限，它就满足啊？
关于这个，答案是肯定的。
因为当0<|X-XO|<δ时，有XO-δ<X<XO或X0<X<XO+δ
里面的变量X当然也就满足XO-δ2<X<XO或X0<X<XO+δ1，这样
当然也就满足了δ1,δ2所满足的极限

最后说一点，你最后给出的是函数右极限的定义。还有上面的证明，充分性的证明其实证明的是必要性，必要性的证明其实证明的是充分性。虽然这个并不重要

Answer 2

我前几天在为一位同学借极限的题，今天又遇到这类问题。你们认为很难，其实你只要意思明白就好理解了。不要在字词上转圈子。
极限就是说，当自变量向X0趋近时，函数值趋向极限值A。反义，X趋向X0而f(x)呈发散性，那么，A就不是极限值。
（1）中你对δ1=δ0有疑问。其实很好理解。当limf(x)=A时，对任取的无穷小ε＞0，存在δ0＞0
当0＜|（X-X0）|＜δ0时，|F(x)-A|＜ε.，此题意，若δ1为最小=|X-X0|它可以小于δ0，可是我们取δ1=δ0也可以。这时的X就是在X0＜X＜X0+δ1范围内成立。
（2）（一般情况下取）0＜ε＜1（无穷小）内的任意值，越小，说明他越逼近极限值。
minδ取最小的值。还是说，δ越小，函数越向极限逼近。（当然是有极限在的情况下）
以后学“发散”就更能增强对极限的理解了。不会请继续发问！

追问

δ越小，函数越向极限逼近????是X向XO逼近吧？？还是？？？

追答

δ越小，f(x)越向A逼近。也就是说δ越小，X向X0逼近时，函数Y=f(x),向极限值A逼近|f(x)-A|＜ε。所以，A是f(x)在X0处的极限。例如：Y=-x^2+3 X向1逼近时（X0=1）δ越小，X+δ越趋向1，则Y就向2逼近。2就是函数Y=-X^2+3 在X0=1处的极限。（这里X可以从左 ，右向1逼近，2是左，右极限（相等），就是函数f(x)在X0=1处的极限.
你的图只描绘了横坐标，还应有与之对应的有函数F(x)。你画一下我给你的函数图形，就可以理解极限的几何意义了。