怎样用最大公因数找最小公倍数?
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a,b的最大公因数是d,则它们的最小公倍数是ab/d.
证明：
因为d是最大公约数,所以可设a = dm,b = dn,其中m和n互素.
令k = ab/d = dmn,则显然k是a、b的公倍数,下面证明k是所有公倍数中最小的,即任取a和b的公倍数s,我们证明k|s.
由条件,存在正整数u、v使得s = dmu = dnv,即mu = nv.
这说明m|nv,但m和n互素,所以m|v. 这样dmn|dnv,即k|s. 证毕.
证明：
因为d是最大公约数,所以可设a = dm,b = dn,其中m和n互素.
令k = ab/d = dmn,则显然k是a、b的公倍数,下面证明k是所有公倍数中最小的,即任取a和b的公倍数s,我们证明k|s.
由条件,存在正整数u、v使得s = dmu = dnv,即mu = nv.
这说明m|nv,但m和n互素,所以m|v. 这样dmn|dnv,即k|s. 证毕.
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